Аппроксимация нелинейных элементов. Реферат: Аппроксимация характеристик нелинейных элементов и анализ цепей при гармонических воздействиях

Характеристики реальных нелинейных элементов, которые определяют обычно с помощью экспериментальных исследований, имеют сложный вид и представляются в виде таблиц или графиков. В то же время для анализа и расчета цепей необходимо аналитическое представление характеристик, т.е. представление в виде достаточно простых функций. Процесс составления аналитического выражения для характеристик, представленных графически или таблично, называется аппроксимацией.

При аппроксимации решаются следующие проблемы:

1. Определение области аппроксимации, которая зависит от диапазона изменения входных сигналов.

2. Определение точности аппроксимации. Понятно, что аппроксимация дает приблизительное представление характеристики в виде какого-либо аналитического выражения. Поэтому необходимо количественно оценить степень приближения аппроксимирующей функции к экспериментально определенной характеристике. Чаще всего используются:

показатель равномерного приближения – аппроксимирующая функция не должна отличаться от заданной функции более чем на некоторое число , т.е.

показатель среднего квадратического приближения – аппроксимирующая функция не должна отличаться от заданной функции в среднем квадратическом приближении более чем на некоторое число , т.е.

узловое приближение (интерполяционное) – аппроксимирующая функция должна совпадать с заданной функцией в некоторых выбранных точках.

Существуют различные способы аппроксимации. Наиболее часто для аппроксимации ВАХ применяют аппроксимацию степенным полиномом и кусочно-линейную аппроксимацию, реже – аппроксимацию с использованием показательных, тригонометрических или специальных функций (Бесселя, Эрмита и др.).

7.2.1. Аппроксимация степенным полиномом

Нелинейную вольт-амперную характеристику в окрестности рабочей точки представляют конечным числом слагаемых ряда Тейлора:

Количество членов ряда определяется требуемой точностью аппроксимации. Чем больше членов ряда, тем точнее аппроксимация. На практике необходимой точности добиваются, используя аппроксимацию полиномами второй и третьей степени. Коэффициенты – это числа, которые достаточно просто определяются из графика ВАХ, что иллюстрируется примером.

Пример.

Аппроксимировать представленную на рис. 7.1,а ВАХ в окрестности рабочей точки степенным полиномом второй степени, т.е. полиномом вида

Выберем область аппроксимации от 0,2 В до 0,6 В. Для решения задачи необходимо определить три коэффициента . Поэтому ограничимся тремя узловыми точками (в середине и на границах выбранного диапазона), для которых составляем систему трех уравнений:

Рис. 7.1. Аппроксимация ВАХ транзистора

Решая систему уравнений, определяем , , . Следовательно, аналитическое выражение, описывающее график ВАХ, имеет вид

Заметим, что аппроксимация степенным полиномом используется в основном для описания отдельных фрагментов характеристик. При значительных отклонениях входного сигнала от рабочей точки точность аппроксимации может значительно ухудшиться.

Если ВАХ задана не графически, а какой-либо аналитической функцией и возникла необходимость представить ее степенным полиномом, то коэффициенты вычисляются по известной формуле

Нетрудно заметить, что представляет собой крутизну ВАХ в рабочей точке. Значение крутизны существенно зависит от положения рабочей точки.

В некоторых случаях удобнее характеристику представлять рядом Маклорена

7.2.2. Кусочно-линейная аппроксимация

Если входной сигнал изменяется по величине в больших пределах, то ВАХ можно аппроксимировать ломаной линией, состоящей из нескольких отрезков прямых. На рис. 7.1,б показана ВАХ транзистора, аппроксимированная тремя отрезками прямых.

Математическая формула аппроксимированной ВАХ

Данный вид аппроксимации связан с двумя важными параметрами нелинейного элемента: напряжением начала характеристики и ее крутизной . Для увеличения точности аппроксимации увеличивают количество отрезков линий. Однако это усложняет математическую формулу ВАХ.

Часто необходимо иметь аналитические выражения для вольт - амперных характеристик нелинейных элементов. Эти выражения могут лишь приближенно представлять ВАХ, поскольку физиче­ские закономерности, которым подчиняются зависимости между напряжениями и токами в нелинейных при­борах, не выражаются аналитически.

Задача приближенного аналитического представления функции, заданной графически или таблицей значений, в заданных пределах изменения ее аргумента (независимой переменной) называется аппроксимацией. При этом во-первых, делается выбор аппроксимирующей функции, т. е. функции, с помощью которой приближенно представляется заданная зависи­мость, и, во-вторых, выбор критерия оценки «близости» этой зави­симости и аппроксимирующей ее функции.

В качестве аппроксимирующих функций используются, чаще всего, алгебраические полиномы, некоторые дробные рациональ­ные, экспоненциальные и трансцендентные функции или совокупность линейных функций (отрезков пря­мых линий).

Будем считать, что ВАХ нелинейного элемента i = fun(u) задана графически, т. е. определена в каждой точке интервала U min ≤ и ≤ U max , и представляет собой однозначную непрерывную функцию переменной и. Тогда задача аналитического представления вольт-амперной характеристики может рассматриваться как задача ап­проксимации заданной функции ξ(х) выбранной аппроксимирую­щей функцией f (x ).

О близости аппроксимирующей f (x )и аппроксимируемой ξ(х )функций или, иными словами, о погрешности аппроксимации, обычно судят по наибольшему абсолютному значению разности между этими функциями в интервале аппроксимации а ≤ х ≤ b, т. е. по величине

Δ= max‌‌│ f (x )- ξ(x )│

Часто критерием близости выбирается среднее квадратичное значение разности между указанными функциями в интервале ап­проксимации.

Иногда под близостью двух функций f(x )и ξ(x ) понимают сов­падение в заданной точке

x = Хо самих функций и п + 1 их произ­водных.

Наиболее распространенным способом приближения аналитической функции к заданной является интерполяция (метод выбран­ных точек), когда добиваются совпадения функций f(x )и ξ(x ) в выбранных точках (узлах интерполяции) X k , k = 0, 1, 2, ..., п.

Погрешность аппроксимации может быть достигнута тем мень­шей, чем больше число варьируемых параметров входит в аппрок­симирующую функцию, т. е., например, чем выше степень аппрок­симирующего полинома или чем больше число отрезков прямых содержит аппроксимирующая линейно-ломаная функция. Одно­временно с этим, естественно, растет объем вычислений, как при решении задачи аппроксимации, так и при последующем анализе нелинейной цепи. Простота этого анализа наряду с особенностями аппроксимируемой функции в пределах интервала аппроксимации служит одним из важнейших критериев при выборе типа аппрок­симирующей функции.

В задачах аппроксимации вольт-амперных характеристик элек­тронных и полупроводниковых приборов стремиться к высокой точности их воспроизведения, как правило, нет необходимости ввиду значительного разброса характеристик приборов от образца к образцу и существенного влияния на них дестабилизирующих факторов, например, температуры в полупроводниковых приборах. В большинстве случаев достаточно «правильно» воспроизвести об­щий усредненный характер зависимости i = f (u )в пределах ее ра­бочего интервала. Для того чтобы была возможность аналитически рассчитывать цепи с нелинейными элементами, необходимо иметь математические выражения для характеристик элементов. Сами эти характеристики обычно являются экспериментальными, т.е. полученными в результате измерений соответствующих элементов, а затем на этой основе формируются справочные (типовые) данные. Процедуру математического описания некоторой заданной функции в математике называют аппроксимацией этой функции. Существует целый ряд типов аппроксимации: по выбранным точкам, по Тейлору, по Чебышеву и др. В конечном итоге необходимо получить математическое выражение, которое с какими-то заданными требованиями удовлетворяло исходной, аппроксимирующей функции.

Рассмотрим простейший способ: метод выбранных точек или узлов интерполяции степенным полиномом.

Необходимо определить коэффициенты полинома. Для этого выбирается (n+1) точек на заданной функции и составляется система уравнений:

Из этой системы находятся коэффициенты а 0 , а 1 , а 2 , …, а n .

В выбранных точках аппроксимирующая функция будет совпадать с исходной, в других точках – отличаться (сильно или нет – зависит от степенного полинома).

Можно использовать экспоненциальный полином:

Второй метод: метод аппроксимации по Тейлору . В этом случае выбирается одна точка, где будет совпадение исходной функции с аппроксимирующей, но дополнительно ставится условие, чтобы в этой точке совпадали еще и производные.

Аппроксимация по Батерворту : выбирается простейший полином:

В этом случае можно определить максимальное отклонение ε на краях диапазона.

Аппроксимация по Чебышеву : является степенной, там устанавливается совпадение в нескольких точках и минимизируется максимальное отклонение аппроксимирующей функции от исходной. В теории аппроксимации функций доказывается, что наиболь­шее по абсолютной величине отклонение полинома f (x )степени п от непрерывной функции ξ(х ) будет минимально возможным, если в интервале приближения а ≤ х ≤ b разность

f(x ) - ξ(х ) не мень­ше, чем п + 2 раза принимает свои последовательно чередующиеся предельные наибольшие f (x ) - ξ(х ) = L > 0 и наименьшие f (x ) - ξ(х ) = -L значения (критерий Чебышева).

Во многих прикладных задачах находит применение полиноми­альная аппроксимация по среднеквадратическому критерию близо­сти, когда параметры аппроксимирующей функции f (x ) выбирают­ся из условия обращения в минимум в интервале аппроксимации а ≤ х ≤ b квадрата отклонения функции f (x ) от заданной непре­рывной функции ξ(х ), т. е., из условия:

Λ= 1/b-a∫ a [f (x )- ξ(x )] 2 dx = min . (7)

В соответствии с правилами отыскания экстремумов решение задачи сводится к решению системы линейных уравнении, которая образуется в результате приравнивания к нулю первых частных производных функции Λ по каждому из искомых коэффициентов a k аппроксимирующего полинома f (x ), т. е. уравнений

дΛ ∕дa 0 =0; дΛ ∕дa 1 =0; дΛ ∕дa 2 =0, . . . , дΛ ∕дa n =0. (8)

Доказано, что и эта система уравнений имеет единственное ре­шение. В простейших случаях оно находится аналитически, а в общем случае - численно.

Чебышев установил, что должно для максимальных отклонений выполняться равенство:

В инженерной практике используется еще так называемая кусочно-линейная аппроксимация – это описание заданной кривой отрезками прямых линий.

В пределах каждого из линиаризированных участков вольт - амперной характеристики применимы все методы анализа колебаний в линейных электрических цепях. Ясно, что, чем на большее число линеаризированных участков разбивается заданная вольт-амперная характеристика, тем точнее она может быть аппроксимирована и тем больше объем вычислений в ходе анализа колебаний в цепи.

Во многих прикладных задачах анализа колебаний в нелиней­ных резистивных цепях аппроксимируемая вольт - амперная харак­теристика в интервале аппроксимации с достаточной точностью пред­ставляется двумя или тремя отрезками прямых.

Подобная аппроксимация вольт - амперных характеристик дает в большинстве случаев вполне удовлетворительные по точности результаты анализа колебаний в нели­нейной резистивной цепи при «небольших» по величине воздействи­ях на нелинейный элемент, т. е. ко­гда мгновенные значения токов в нелинейном элементе изменяются в предельно допустимых границах от I = 0 до I = I мах

При исследовании свойств электрических цепей явлением гистерезиса, как правило, можно пренебречь. Лишь при исследовании цепей, в основе действия которых лежит это явление (например, работы запоминающих магнитных устройств с прямоугольной петлей гистерезиса), гистерезис необходимо учитывать.

На рис. 15.11, а изображена типичная симметричная характеристика у = f(x).

Для нелинейной индуктивности роль х играет мгновенное значение индукции роль у - мгновенное значение напряженности поля Н. Для нелинейного конденсатора у - это напряжение - заряд q. Для нелинейных резисторов (например, тиритовых сопротивлений) роль х играет напряжение, у - ток.

Существует большое число различных аналитических выражений, в той или иной мере пригодных для аналитического описания характеристик нелинейных элементов . При выборе наиболее подходящего аналитического выражения для функции у = f(x) исходят не только из того, что кривая, описываемая аналитическим выражением, должна достаточно близко всеми своими точками расположиться к опытным путем полученной кривой в предполагаемом диапазоне перемещений рабочей точки на ней, но учитывают и те возможности, которые выбранное аналитическое выражение дает при анализе свойств электрических цепей.

В дальнейшем для аналитического описания симметричных характеристик по типу рис. 15.11, а будем пользоваться гиперболическим синусом:

В этом выражении - числовые коэффициенты; а выражается в тех единицах, что - в единицах, обратных единицам так что произведение есть величина безразмерная. Для определения неизвестных коэффициентов следует на полученной опытным путем зависимости у = f(x) в предполагаемом рабочем диапазоне произвольно выбрать две наиболее характерные точки, через которые должна пройти аналитическая кривая, подставить координаты этих точек в уравнение (15.1) и затем решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными.

Пусть координаты этих точек (рис. 15.11, а). Тогда

Отношение

Трансцендентное уравнение (15.2) служит для определения коэффициента . Следовательно,

Пример 147. Кривая намагничивания трансформаторной стали изображена на рис. 15.11, б. Найти коэффициенты а и .

Решение. Выбираем две точки на кривой:

По уравнению (15.2) имеем Задаемся произвольными значениями и производим подсчеты:

По результатам подсчетов строим кривую и по ней находим . Далее определяем

Пунктирная кривая на рис. 15.11, б построена по уравнению . § 15.14. Понятие о функциях Бесселя. При анализе нелинейных цепей широко используют функции Бесселя, которые являются решением уравнения Бесселя

Функции Бесселя выражают степенными рядами и для них составлены таблицы. Функцию Бесселя от аргумента обозначают , где - порядок функции Бесселя. Общее выражение для в виде степенного ряда можно записать так:

Таблица 15.1

Часто необходимо иметь аналитические выражения для вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. Эти выражения могут лишь приближенно представлять ВАХ, поскольку физиче­ские закономерности, которым подчиняются зависимости между напряжениями и токами в нелинейных при­борах, не выражаются аналитически.

Задача приближенного аналитического представления функции, заданной графически или таблицей значений, в заданных пределах изменения ее аргумента (независимой переменной) предполагает. При этом во-первых, делается выбор аппроксимирующей функции, т. е. функции, с помощью которой приближенно представляется заданная зависи­мость, и, во-вторых, выбор критерия оценки «близости» этой зави­симости и аппроксимирующей ее функции.

В качестве аппроксимирующих функций используются, чаще всего, алгебраические полиномы, некоторые дробные рациональ­ные, экспоненциальные и трансцендентные функции или совокупность линейных функций (отрезков пря­мых линий).

Будем считать, что ВАХ нелинейного элемента i = F (u ) задана графически, т. е. определена в каждой точке интервала U min ≤ и ≤ U max , и представляет собой однозначную непрерывную функцию переменной и. Тогда задача аналитического представления вольт-амперной характеристики может рассматриваться как задача ап­проксимации заданной функции ξ(х) выбранной аппроксимирую­щей функцией f (x ).

О близости аппроксимирующей f (x ) и аппроксимируемой ξ(х ) функций или, иными словами, о погрешности аппроксимации, обычно судят по наибольшему абсолютному значению разности между этими функциями в интервале аппроксимации а ≤ х ≤ b , т. е. по величине

Λ = max ‌‌ │ f (x )- ξ(x )│

Часто критерием близости выбирается среднее квадратичное значение разности между указанными функциями в интервале ап­проксимации.

Иногда под близостью двух функций f(x ) и ξ(x ) понимают сов­падение в заданной точке

x = Хо самих функций и п + 1 их произ­водных.

Наиболее распространенным способом приближения аналитической функции к заданной является интерполяция (метод выбран­ных точек), когда добиваются совпадения функций f(x ) и ξ(x ) в выбранных точках (узлах интерполяции) X k , k = 0, 1, 2, ..., п.

Погрешность аппроксимации может быть достигнута тем мень­шей, чем больше число варьируемых параметров входит в аппрок­симирующую функцию, т. е., например, чем выше степень аппрок­симирующего полинома или чем больше число отрезков прямых содержит аппроксимирующая линейно-ломаная функция. Одно­временно с этим, естественно, растет объем вычислений, как при решении задачи аппроксимации, так и при последующем анализе нелинейной цепи. Простота этого анализа наряду с особенностями аппроксимируемой функции в пределах интервала аппроксимации служит одним из важнейших критериев при выборе типа аппрок­симирующей функции.

В задачах аппроксимации вольт-амперных характеристик элек­тронных и полупроводниковых приборов стремиться к высокой точности их воспроизведения, как правило, нет необходимости ввиду значительного разброса характеристик приборов от образца к образцу и существенного влияния на них дестабилизирующих факторов, например, температуры в полупроводниковых приборах. В большинстве случаев достаточно «правильно» воспроизвести об­щий усредненный характер зависимости i = F (u ) в пределах ее ра­бочего интервала. Для того чтобы была возможность аналитически рассчитывать цепи с нелинейными элементами, необходимо иметь математические выражения для характеристик элементов. Сами эти характеристики обычно являются экспериментальными, т.е. полученными в результате измерений соответствующих элементов, а затем на этой основе формируются справочные (типовые) данные. Процедуру математического описания некоторой заданной функции в математике называют аппроксимацией этой функции. Существует целый ряд типов аппроксимации: по выбранным точкам, по Тейлору, по Чебышеву и др. В конечном итоге необходимо получить математическое выражение, которое с какими-то заданными требованиями удовлетворяло исходной, аппроксимирующей функции.

Рассмотрим простейший способ: метод выбранных точек или узлов интерполяции степенным полиномом.

Необходимо определить коэффициенты полинома. Для этого выбирается (n +1) точек на заданной функции и составляется система уравнений:

Из этой системы находятся коэффициенты а 0 , а 1 , а 2 , …, а n .

В выбранных точках аппроксимирующая функция будет совпадать с исходной, в других точках – отличаться (сильно или нет – зависит от степенного полинома).

Можно использовать экспоненциальный полином:

Второй метод: метод аппроксимации по Тейлору . В этом случае выбирается одна точка, где будет совпадение исходной функции с аппроксимирующей, но дополнительно ставится условие, чтобы в этой точке совпадали еще и производные.

Аппроксимация по Батерворту : выбирается простейший полином:

В этом случае можно определить максимальное отклонение ε на краях диапазона.

Аппроксимация по Чебышеву : является степенной, там устанавливается совпадение в нескольких точках и минимизируется максимальное отклонение аппроксимирующей функции от исходной. В теории аппроксимации функций доказывается, что наиболь­шее по абсолютной величине отклонение полинома f (x ) степени п от непрерывной функции ξ(х ) будет минимально возможным, если в интервале приближения а ≤ х ≤ b разность

f (x ) - ξ(х ) не мень­ше, чем п + 2 раза принимает свои последовательно чередующиесяпредельные наибольшие f (x ) - ξ(х ) = L > 0 и наименьшие f (x ) - ξ(х ) = - L значения (критерий Чебышева).

Во многих прикладных задачах находит применение полиноми­альная аппроксимация по среднеквадратическому критерию близо­сти, когда параметры аппроксимирующей функции f (x ) выбирают­ся из условия обращения в минимум в интервале аппроксимации а ≤ х ≤ b квадрата отклонения функции f (x ) от заданной непре­рывной функции ξ(х ), т. е., из условия:

Λ= 1/b-a∫ a [f (x )- ξ(x )] 2 dx = min . (7)

В соответствии с правилами отыскания экстремумов решение задачи сводится к решению системы линейных уравнении, которая образуется в результате приравнивания к нулю первых частных производных функции Λ по каждому из искомых коэффициентов a k аппроксимирующего полинома f (x ), т. е. уравнений

д Λ ∕ д a 0 =0;д Λ ∕ д a 1 =0;д Λ ∕ д a 2 =0, . . . ,д Λ ∕ д a n =0. (8)

Доказано, что и эта система уравнений имеет единственное ре­шение. В простейших случаях оно находится аналитически, а в общем случае - численно.

Чебышев установил, что должно для максимальных отклонений выполняться равенство:

В инженерной практике используется еще так называемая кусочно-линейная аппроксимация – это описание заданной кривой отрезками прямых линий.

В пределах каждого из линиаризированных участков вольт-амперной характеристики применимы все методы анализа колебаний в линейных электрических цепях. Ясно, что, чем на большее число линеаризированных участков разбивается заданная вольт-амперная характеристика, тем точнее она может быть аппроксимирована и тем больше объем вычислений в ходе анализа колебаний в цепи.

Во многих прикладных задачах анализа колебаний в нелиней­ных резистивных цепях аппроксимируемая вольт-амперная харак­теристика в интервале аппроксимации с достаточной точностью пред­ставляется двумя или тремя отрезками прямых.

Подобная аппроксимация вольт-амперных характеристик дает в большинстве случаев вполне удовлетворительные по точности результаты анализа колебаний в нели­нейной резистивной цепи при «небольших» по величине воздействи­ях на нелинейный элемент, т. е. ко­гда мгновенные значения токов в нелинейном элементе изменяются в предельно допустимых границах от I = 0 до I = I н

Для анализа прохождения сигналов через цепи, содержащие нелинейный элемент, необходимо задать его вольт-амперную характеристику (ВАХ) в аналитической форме. Для двухполюсного нелинейного элемента ВАХ характеризует зависимость его тока от приложенного напряжения i (u ); многополюсные НЭ описываются проходной характеристикой . Наиболее широко распространены способы представления нелинейных ВАХ в виде полиномов или линейно-ломаных отрезков. Полиноминальная аппроксимация используется обычно при достаточно малых изменениях входного напряжения в окрестности рабочей точки, а линейно-ломаная - при больших.

Рассмотрим аппроксимацию в виде степенного полинома на примере биполярного транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером. Его проходная ВАХ описывается зависимостью . Степень полинома, которой можно ограничить аппроксимирующую функцию, зависит от положения рабочей точки и величины входного напряжения. На рис.23 показан график функции , где Е отс - напряжение база-эмиттер, соответствующее отсечке тока.

В общем случае аппроксимирующий полином имеет вид

где - ток коллектора в рабочей точке при - постоянное смещение перехода база-эмиттер(рабочая точка), - коэффициенты полинома, причем

Коэффициент представляет собой крутизну (производную) характеристики в рабочей точке, - первую производную от крутизны (с коэффициентом 1/2) и т.д. Ясно, что коэффициенты зависят от положения рабочей точки нелинейного элемента, т.е. от его режима по постоянному току.

Рассмотрим частные случаи.

1.Рабочая точка находится на линейном участке характеристики, а изменения входного напряжения таковы, что мгновенное значение тока не выходит за пределы линейного участка.

В этом случае при аппроксимации можно ограничиться полиномом первой степени:

Часто коэффициент называют крутизной и обозначают буквой S .

Данный вид аппроксимации используется при анализе усилителей слабого сигнала, а рабочая точка обычно выбирается на середине самого крутого линейного участка (точка на рис.23).

2.Рабочая точка расположена на нижнем нелинейном участке ВАХ (точка на рис.23), имеющем вид квадратичной параболы. При этом предполагается, что мгновенное значение входного напряжения не заходит за точку , где - напряжение отсечки нелинейного элемента (начало характеристики). В этом случае аппроксимирующий полином можно ограничить второй степенью:

где .

Если - крутизна ВАХ в рабочей точке, то величину можно определить из условия: , . В этом случае ,

3.Рабочая точка является точкой перегиба характеристики, а изменения входного сигнала достаточно велики (см. рис.24).

В точке перегиба все производные четного порядка равны нулю. Поэтому

Если , можно ограничиться полиномом третьей степени без квадратичного члена (пунктир на рис.24):

Напряжение иногда называют напряжением насыщения. Задавая это напряжение и зная величину , однозначно определяется величина :

,

Аппроксимация в виде кубичного полинома допустима при .

Во всех иных случаях положения рабочей точки и изменениях входного напряжения полиноминальная аппроксимация требует более высокой степени.При этом анализ усложняется и применение степенного полинома для практических расчетов оказывается неэффективным.

При очень больших изменениях сигнала более целесообразной оказывается кусочно-линейная аппроксимация . При этом для построения характеристики транзистора с ОЭ в режиме большого сигнала можно использовать следующие идеализации:

а) статические входные ВАХ можно считать независимыми от ; нижний нелинейный участок спрямляется до пересечения с осью абсцисс; эта точка определяет напряжение ; в этом случае предполагается однозначная зависимость напряжения от , т.е. выходные характеристики не зависят от того, при каком параметре они сняты (см. рис.25.);