Линии уровня функции z x y. Построить линии уровня функции
∙ проходит через одну точку на плоскости параллельно прямой, параллельной этой плоскости.
Пример построения прямой на плоскости (Рис. 3.12): |
||||
Рис. 3.12 Задача: построить на плоскости АВС прямую, заданную |
||||
фронтальной проекцией | ||||
3.4 Главные линии плоскости
Для решения многих задач начертательной геометрии используют линии частного положения – линии уровня .
Линии уровня , это линии на плоскости, параллельные ПП. Линия, параллельная горизонтальной ПП –горизонтал ь, Фронтальной –фронталь , Профильной ПП –профильная лин ия.
Так как линии уровня параллельны своим плоскостям проекций, на других ПП их проекции будут параллельны осям координат. Например, фронтальная проекция горизонтали параллельна оси х 12 .
Примеры построения линий уровня: ∙ Горизонталь h (Рис. 3.13);
h 11 1
Рис. 3.13 Горизонталь на плоскости
Если плоскость задана следами, линии уровня h иf будут параллельны следам на своих плоскостях проекции: горизонтали горизонтальным следам, фронтали фронтальным следам и т.д. (Рис. 3.14). По сути, след плоскости является линией уровня, бесконечно близкой плоскости проекции.
f 1≡ h 2 |
|||
Рис. 3.14 Линии уровня плоскости, заданной следами
3.5 Точка на плоскости
Точка лежит на плоскости, если она принадлежит любой прямой на этой плоскости. Таким образом, для построения точи на плоскости необходимо сначала построить вспомогательную прямую на плоскости такую, чтобы она проходила через заданную проекцию искомой точки и, затем, найти точку на построенной вспомогательной линии вдоль линии связи.
Примеры построения точки на плоскости (Рис. 3.15):
D1 - ? |
||
D1 - ? | ||
Рис. 3.15 Точка на плоскости
Построение точки на плоскости, заданной следами.
Если плоскость задан следами, в качестве линий, принадлежащих плоскости, с помощью которых проверяется принадлежность точки плоскости, используются линии уровня, которые легко строить, проводя параллельно заданным следам (Рис. 3.16). При этом следует помнить, что проекция точки, принадлежащей следу плоскости, на другой плоскости проекций окажется на оси, разделяющей плоскости проекций (см. (.)1 ).
f 1≡ h 2 |
||||
Рис. 3.16 Использование линий уровня для построения очки на плоскости, заданной следами
Тема 4 Взаимное положение геометрических фигур: прямая и плоскость, две плоскости.
Прямая и плоскость, а также две плоскости могут быть:
∙ параллельны друг другу,
∙ пересекаться,
∙ перпендикулярны друг другу.
4.1 Параллельные фигуры
4.1.1 Прямая, параллельная плоскости
Пример 1 (Рис. 4.1). Есть плоскость Σ(a Ç b).
Задана (.)A и фронтальная проекцияl 2 прямой. Провести через(.)A прямую, параллельную плоскостиΣ
A 2l 2
Рис. 4.1 Построение прямой, параллельной плоскости
Пример 2. Через (.)А провести горизонталь, параллельную плоскости
Σ(ABC) (Рис. 4.2).
Рис. 4.2 Горизонталь, параллельная плоскости
4.1.2 Взаимно параллельные плоскости
Две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (Рис. 4.3).
a // d | ||||||||
ý Þ a // d |
||||||||
a 2// d 2þ | ||||||||
b // c | Þ b// c |
|||||||
b 2// c 2þ | ||||||||
пл .Q (a Ç b ) //пл .D (с //в ) |
||||||||
Рис. 4.3 Взаимно параллельные плоскости
В качестве пересекающихся линий могут быть выбраны линии |
|||||
частного положения. Отсюда: | |||||
Если одноименные следы двух плоскостей параллельны. То |
|||||
параллельны сами плоскости. | |||||
пл .S (f Ç h ) //пл .T (f "Ç h ") |
|||||
h ′ | |||||
Рис. 4.4 Параллельные плоскости, | |||||
заданные следами | |||||
Пример 4.3: Через (.)А провести плоскостьΘ параллельно плоскости |
|||||
Γ , заданной двумя параллельными прямыми (Рис. 4.5). | |||||
Рис. 4.5 Параллельные плоскости | |||||
Техника построения:
1. На плоскости Г, используя прямуюа выбирается произвольная вспомогательная точка1 .
2. Через (.) 1 проводятся две произвольные прямыеl иk так, чтобы они пересекли другую прямую, задающую плоскость – линиюb .
3. Через заданную точку А проводят две прямыеm иn , параллельные соответственно вспомогательным прямымl иk . Эти две
пересекающиеся прямые l иk зададут искомую плоскостьQ , параллельную заданной плоскостиГ .
Пример 4.4: Через (.)А провести | плоскость | параллельно |
|||||||||||||||||||||||||
фронтально-проектирующей плоскостиΣ (m ||n ) (Рис. 4.6). |
|||||||||||||||||||||||||||
≡ l 2 |
|||||||||||||||||||||||||||
Рис. 4.6 Параллельные плоскости
Техника построения:
1. На фронтальной ПП через фронтальную проекцию А 2 заданной точкиА проводится прямаяА 2 С 2 ||m 2 ≡ n 2 . Эта прямая будет фронтальным следом искомой плоскостиD . Плоскость, параллельная фронтально-проектирующей плоскости должна быть сама фронтально-проектирующей плоскостью!
2. На горизонтальной ПП выбираются произвольно две точки В 1 и
С1 .
3. Фронтальные проекции В 2 иС 2 точекВ иС ищутся вдоль линий связи на построенном следе искомой плоскостиD .
NB ! Несмотря на то, что точкиВ иС были выбраны на горизонтальной ПП произвольно, плоскость, задаваемая точкамиАВС будет параллельной заданной фронтально-проектирующей плоскости потому, что на фронтальной ПП точкиАВС располагаются на одной линии, параллельной фронтальному следу заданной плоскостиΣ .
4.2 Пересечение прямой и плоскости. Точка пересечения
Рассмотрим частный случай, когда необходимо найти (.)K пересечения прямой общего положенияl и горизонтальнопроектирующей плоскостиΣ .
Пример 4.9: Построить точку пересечения прямой l c горизонтальнопроектирующей плоскостьюΣ (Рис. 4.7):
å ^ П 1 |
|
Рис. 4.7 Пересечение прямой с проектирующей плоскостью
Построение весьма простое. Так как проектирующая плоскость Σ обладает собирательным свойством, точка ее пересечения с линиейl
находится как точка пересечения горизонтального следа Σ 1 плоскости и горизонтальной проекцииl 1 линии. Фронтальная проекция точки пересечение найдена вдоль линии связи.
Для построения точки пересечения произвольной прямой с плоскостью общего положения в качестве вспомогательного элемента следует использовать вспомогательные проектирующие плоскости.
Пример 4.10: Построить точку пересечения прямой m с плоскостью
(a Ç b) (Рис. 4.8).
å ^ П 2 ; å º m |
||||||||||||||||||||||||||
å Ç D(aÇb) => l |
||||||||||||||||||||||||||
l1 11
Рис. 4.8 Пересечения прямой с плоскостью
Для построения использована вспомогательная фронтальнопроектирующая плоскость Σ , проходящая через линиюm .
Линия l пересечения плоскостейΣ Ç лежит в одной плоскости с прямойm , так как вспомогательная плоскость специально была проведена через прямуюm . Следовательно, находясь в одной плоскости, прямыеl иm , если они пересекутся, дадут точку, которая будет искомой точкой пересечения заданных прямойm и плоскости
Если прямые l иm окажутся параллельными, это будет означать, что заданные прямаяm и плоскость – параллельны.
Пересечение двух плоскостей. | ||||
Для построения линии пересечения двух плоскостей достаточно |
||||
найти две любые точки этой линии, либо одну точку и направление |
||||
линии пересечения. | ||||
Если ищется линия пересечения двух плоскостей, одна из которых |
||||
проектирующая, линия пересечения определяется простейшими |
||||
построениями. | ||||
Пример 4.5: Построить линию пересечения плоскости | Заданной |
|||
двумя прямыми l ||m и горизонтальной плоскостью уровняΣ (Рис. |
||||
S 2≡ S 2 | ||||
Рис. 4.9 Пересечение плоскостей | ||||
NB ! Линия пересечения принадлежит горизонтальной плоскости уровняΣ , поэтому является горизонталью.
Простота построения линии пересечения плоскостей общего положения с плоскостями частного положения дает удобный инструмент построения линии пересечения двух плоскостей общего положения.
Рис. 4.10 Вспомогательные секущие плоскости
Таким инструментом являются вспомогательные секущие плоскости частного положения, например, плоскости уровня (Рис. 4.10).
Для построения линии пересечения плоскостей Φ иΘ использованы две горизонтальные плоскостиГ" иГ"" . Точки пересеченияM иN
пар линий a"
S "X lX m
Рис. 4.11 Построение линии пересечения плоскостей
Для построения использованы горизонтальные плоскости Σ" иΣ"".
Пример 4.7: Построить линию пересечения плоскости Φ(ABC) 6
5 1X 6 1
Рис. 4.12 Построение линии пересечения плоскостей
Для построения используются вспомогательные фронтально проектирующие плоскости " и"" , которые на фронтальной ПП проходят по фронтальным проекциям параллельных прямыхl иm , задающих плоскостьТ . Вспомогательная плоскость" пересекает заданную плоскостьΦ(ABC) по линии12 . Горизонтальная проекция этой прямой пересекает горизонтальную проекцию прямойl в точкеЕ 1 . Эта точка ищется на фронтальной ПП вдоль линии связи. ТочкаЕ является общей для плоскостиΦ(ABC) иΤ(l ||m ). Таким образом, эта точка является одной из точек линии пересечения плоскостейΦ(ABC) иΤ(l ||m ). Также найдена точкаF пересечения плоскости"" с прямойm . ТочкаF также является точкой линии пересечения плоскостейΦ(ABC) иΤ(l ||m ). Соединение полученных точекЕ и
h"1 M 1 h 1
Рис. 4.13 Построение линии пересечения плоскостей
Точки линии пересечения, это (.)M пересечения горизонтальных следовh иh" заданных плоскостей и (.)N пересечения фронтальных следовf иf" . Соединение этих точек на соответствующих плоскостях проекций дает проекции линии пересечения заданных плоскостей.
При обработке данных в предметных областях, связанных с научной деятельностью, часто возникает необходимость в построении и визуализации функции двух независимых переменных. Типичным примером является необходимость визуального представления результатов решения двумерных дифференциальных уравнений в частных производных, получаемых в виде так называемых сеточных функций.
Предлагается простой класс для построения линий уровня (изолиний) функции: Z=F(X,Y) в виде линий на плоскости X-Y, удовлетворяющих уравнениям Z=const (где const - набор заданных значений).
Предполагается, что функция Z задана в виде массива z на произвольной сетке с четырехугольными ячейками. Сетка задается двумя массивами x, y, где J и K размеры сетки.
Значения функции определены в углах четырехугольной ячейки. В каждой ячейке проверяется прохождение рассчитываемой линии уровня через ее грани и, при условии, что линия проходит через ячейку, вычисляются координаты пересечения линии уровня с гранями. Внутри ячейки линия проводится прямолинейным отрезком.
Исходный текст снабжен подробными комментариями.
Файл LinesLevels.cs:
Using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Windows;
namespace WpfLinesLevels
{
public class LinesOfLevels
{
private int J, K;
private double[,] X;
private double[,] Y;
private double[,] Z;
// Список изолиний
public List
Для демонстрации работы класса предлагается небольшое тестовое приложение WPF, которое строит линии уровня для функции вида: z = x^2 + y^2 на сетке 10 на 10.
Файл MainWindow.xaml:
И файл кода MainWindow.xaml.cs:
Using System.Linq;
using System.Windows;
using System.Windows.Controls;
using System.Windows.Media;
using System.Windows.Shapes;
namespace WpfLinesLevels
{
///
Результат работы тестового примера представлен на рисунке.
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО МАТАНАЛИЗУ
Функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, их свойства. Частные производные, их свойства и геометрический смысл.
Определение 1.1. Переменная z (с областью изменения Z ) называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М , если каждой паре (х,у ) из множества М z из Z .
Определение 1.2. Множество М , в котором заданы переменные х,у, называется областью определения функции , а сами х,у – ее аргументами .
Обозначения: z = f (x , y ), z = z (x , y ).
Примеры.
Замечание.
Так как пару чисел (х,у
)
можно считать координатами некоторой
точки на плоскости, будем впоследствии
использовать термин «точка» для пары
аргументов функции двух переменных, а
также для упорядоченного набора чисел
,
являющихся аргументами функции нескольких
переменных.
Определение 1.3.
.
Переменная z
(с областью
изменения Z
)
называется
функцией
нескольких независимых переменных
в множествеМ
,
если каждому набору чисел
из
множестваМ
по некоторому правилу или закону ставится
в соответствие одно определенное
значение z
из Z
.
Понятия
аргументов и области определения
вводятся так же, как для функции двух
переменных.
Обозначения: z
=
f
,z
=
z
.
Геометрическое изображение функции двух переменных.
Рассмотрим функцию
z = f (x , y ) , (1.1)
определенную в некоторой области М на плоскости Оху . Тогда множество точек трехмерного пространства с координатами (x , y , z ) , где , является графиком функции двух переменных. Поскольку уравнение (1.1) определяет некоторую поверхность в трехмерном пространстве, она и будет геометрическим изображением рассматриваемой функции.
z = f(x,y)
M y
Замечание . Для функции трех и более переменных будем пользоваться термином «поверхность в n -мерном пространстве», хотя изобразить подобную поверхность невозможно.
Линии и поверхности уровня.
Для функции двух переменных, заданной уравнением (1.1), можно рассмотреть множество точек (х,у) плоскости Оху , для которых z принимает одно и то же постоянное значение, то есть z = const. Эти точки образуют на плоскости линию, называемую линией уровня .
Пример.
Найдем линии уровня
для поверхности z
=
4 – x
²
- y
².
Их уравнения имеют вид x
²
+ y
²
= 4 – c
(c
=const)
– уравнения концентрических окружностей
с центром в начале координат и с радиусами
.
Например, прис
=0
получаем окружность x
²
+ y
²
= 4 .
Для функции трех переменных u = u (x , y , z ) уравнение u (x , y , z ) = c определяет поверхность в трехмерном пространстве, которую называют поверхностью уровня .
Пример.
Для функции u = 3x + 5y – 7z –12 поверхностями уровня будет семейство параллельных плоскостей, задаваемых уравнениями
3x + 5y – 7z –12 + с = 0.
Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
Введем понятие
δ-окрестности
точки М
0
(х
0
, у
0
)
на плоскости Оху
как круга радиуса δ с центром в данной
точке. Аналогично можно определить
δ-окрестность в трехмерном пространстве
как шар радиуса δ с центром в точке М
0
(х
0
, у
0
,
z
0
)
.
Для n
-мерного
пространства будем называть δ-окрестностью
точки М
0
множество точек М
с координатами
,
удовлетворяющими условию
где
- координаты точкиМ
0 .
Иногда это множество называют «шаром»
в n
-мерном
пространстве.
Определение 1.4.
Число А называется пределом
функции нескольких переменных f
в
точкеМ
0 ,
если
такое, что |
f
(M
)
–
A
|
< ε для любой точки М
из δ-окрестности М
0 .
Обозначения:
.
Необходимо учитывать, что при этом точка М может приближаться к М 0 , условно говоря, по любой траектории внутри δ-окрестности точки М 0 . Поэтому следует отличать предел функции нескольких переменных в общем смысле от так называемых повторных пределов , получаемых последовательными предельными переходами по каждому аргументу в отдельности.
Примеры.
Замечание . Можно доказать, что из существования предела в данной точке в обычном смысле и существования в этой точке пределов по отдельным аргументам следует существование и равенство повторных пределов. Обратное утверждение неверно.
Определение 1.5.
Функция f
называетсянепрерывной
в точке М
0 
,
если
(1.2)
Если ввести обозначения
То условие (1.2) можно переписать в форме
(1.3)
Определение 1.6. Внутренняя точка М 0 области определения функции z = f (M ) называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполняются условия (1.2), (1.3).
Замечание. Множество точек разрыва может образовывать на плоскости или в пространстве линии или поверхности разрыва .
Определение . Пусть имеется п переменных величин, и каждому набору их значений (х х , х 2 ,..., х п ) из некоторого множества X соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z = f (х х , х 2 ,..., х п ) .
Переменные х х , х 2 ,..., х п называются независимыми переменными или аргументами, z - зависимой переменной, а символ f означает закон соответствия. Множество X называется областью определения функции. Очевидно, это подмножество n-мерного пространства.
Функцию двух переменных обозначают z=f(x, у) . Тогда ее область определения X есть подмножество координатной плоскости Оху .
Окрестностью точки
называется
круг, содержащий точку
(см.
рис. 1).
Очевидно, круг на плоскости есть двумерный аналог интервала на прямой.
При изучении функций
нескольких переменных используется
математический аппарат: любой функции
z
=
f
(x
,
у)
можно поставить
в соответствие пару функций одной
переменной: при фиксированном значении
х=х
0
функцию z
=
и при фиксированном
значении у=у
0
функцию z
=
f
(x
,
у
0
).
Графиком функции двух
переменных
z
=
называется множество
точек трехмерного пространства (х, у,
z), аппликата z
которых связана с абсциссой х
и ординатой у
функциональным соотношением z
=
.
Для построения графика
функции z=f(x, у)
полезно рассматривать функции одной
переменной z
=
f
(x
,
у
0
)
и z
=
,
представляющие сечения
графика z
=
f
(x
,
у)
плоскостями,
параллельными координатным плоскостям
Oxz
и
Oyz
,
т.е. плоскостями у=
у
0
и х=х
0
.
Пример 1. Построить график
функции
.
Решение. Сечения поверхности
=
плоскостями,
параллельными координатным плоскостямOyz
и Oxz
,
представляют параболы (например,
при х = 0
,
при у = 1
и
т.д.). В сечении поверхности кординатной
плоскостьюОху
,
т.е. плоскостью z=0
,
получается окружность
График
функции представляет поверхность,
называемую параболоидом (см. рис. 2)
Определение . Линией уровня функции двух переменных z=f{x, у) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Число С в этом случае называется уровнем.
На рис.3 изображены линии
уровня, соответствующие значениям
С=1 и С=2. Как видно, линия уровня
состоит из двух непересекающихся
кривых. Линия
– самопересекающаяся кривая.
Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны. Например, параллели и меридианы на глобусе - это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображением изотерм - линий уровня температуры.
Пример 2. Построить линии
уровня функции
.
Решение. Линия уровня z
=
C
это кривая на плоскости
Оху,
задаваемая
уравнением х
2
+ у
2
- 2у
= С
или х
2
+ (у -
I) 2
= С+1. Это уравнение окружности с центром
в точке (0; 1) и радиусом
(рис.
4).
Точка (0; 1) - это вырожденная линия уровня, соответствующая минимальному значению функции z =-1 и достигающемуся в точке (0; 1). Линии уровня - концентрические окружности, радиус которых увеличивается с ростом z = C , причем расстояния между линиями с одинаковым шагом уровня уменьшаются по мере удаления от центра. Линии уровня позволяют представить график данной функции, который был ранее построен на рис. 2.
Частные производные
Дадим аргументу х приращение ∆х, аргументу у - приращение ∆у. Тогда функция z получит наращенное значение f(х+∆х, у+∆у). Величина ∆ z = f (x +∆ x , y +∆ y )- f { x , у) называется полным приращением функции в точке (х; у). Если задать только приращение аргумента x или только приращение аргумента у, то полученные приращения функции соответственно иназываютсячастными.
Полное приращение функции,
вообще говоря, не равно сумме частных,
т.е.
Пример 15.6. Найти частные и полное приращения функции z = xy .
Решение. ;;.
Получили, что
Определение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).
Обозначается частная
производная так:
или
,
или
.
Для нахождения производной
надо
считать постоянной переменную у, а для
нахождения
-переменную х.
При
этом сохраняются известные правила
дифференцирования.
Пример. Найти частные производные функции:
a)
z
=
x
ln
y
+
.
Решение: Чтобы найти частную
производную по х,
считаем у
постоянной величиной.
Таким образом,
.
Аналогично, дифференцируя
по у,
считаем
х
постоянной
величиной, т.е
.
Дифференциал функции
Определение. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.
dz
=
.
(1)
Учитывая, что для функций
f(х,
у)=х,
g
(x
,
у)=у
согласно (1)
df
=
dx
=∆
x
;
dg
=
dy
=∆
y
формулу дифференциала
(1) можно записать в виде dz
=
z
"
x
dx
+
z
"
y
dy
(2)
или
Определение.
Функция
z
=
f
(x
,
у) называется
дифференцируемой
в точке (х, у), если
ее полное приращение может быть
представлено в виде
(3),
где
dz
- дифференциал
функции,
–
,бесконечно малые при
.
Достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных.
Теорема. Если частные производные функции z " v (x , у) существуют в окрестности точки (х, у) и непрерывны в самой точке (х, у), то функция z = f { x , у) дифференцируема в этой точке.
Пусть Z = F (M ) – функция, определенная в некоторой окрестности точки М(у; х); L ={ Cos ; Cos } – единичный вектор (на рис. 33 1= , 2= ); L – направленная прямая, проходящая через точку М ; М1(х1; у1), где х1=х+х и у1=у+у – точка на прямой L ; L – величина отрезка ММ1 ; Z = F (х+х, у+у)- F (X , Y ) – приращение функции F (M ) в точке М(х; у).
Определение. Предел отношения , если он существует, называется Производной функции Z = F ( M ) в точке M ( X ; Y ) по направлению вектора L .
Обозначение.
|
|
Если функция F (M ) дифференцируема в точке М(х; у) , то в точке М(х; у) существует производная по любому направлению L , исходящему из М ; вычисляется она по следующей формуле:
(8)
Где Cos И Cos - направляющие косинусы вектора L .
Пример 46. Вычислить производную функции Z = X 2 + Y 2 X в точке М(1; 2) по направлению вектора ММ1 , где М1 – точка с координатами (3; 0).
. Найдем единичный вектор L , имеющий данное направление:
Откуда Cos = ; Cos =- .
Вычислим частные производные функции в точке М(1; 2) :
По формуле (8) получим 
Пример 47. Найти производную функции U = Xy 2 Z 3 в точке М(3; 2; 1) В направлении вектора MN , где N (5; 4; 2) .
. Найдем вектор и его направляющие косинусы:
Вычислим значения частных производных в точке М :
Следовательно, 
Определение. Градиентом Функции Z = F (M ) в точке М(х; у) называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным и, взятым в точке М(х; у).
Обозначение. 
Пример 48. Найти градиент функции Z = X 2 +2 Y 2 -5 в точке М(2; -1) .
Решение
. Находим частные производные: 
и их значения в точке М(2; -1):
Пример 49.
Найти величину и направление градиента функции в точке 
Решение. Найдем частные производные и вычислим их значения в точке М:
Следовательно,
Аналогично определяется производная по направлению для функции трех переменных U = F (X , Y , Z ) , выводятся формулы
Вводится понятие градиента 
Подчеркнем, что Основные свойства градиента функции важнее для анализа экономических оптимизационных : в направлении градиента функция возрастает. В экономических задачах находят применение следующие свойства градиента:
1) Пусть задана функция Z = F (X , Y ) , имеющая частные производные в области определения. Рассмотрим некоторую точку М0(х0, у0) из области определения. Значение функции в этой точке пусть равно F (X 0 , Y 0 ) . Рассмотрим график функции. Через точку (X 0 , Y 0 , F (X 0 , Y 0 )) трехмерного пространства проведем плоскость, касательную к поверхности графика функции. Тогда градиент функции, вычисленный в точке (х0, у0) , рассматриваемый геометрически как вектор, приложенный в точке (X 0 , Y 0 , F (X 0 , Y 0 )) , будет перпендикулярен касательной плоскости. Геометрическая иллюстрация приведена на рис. 34.
2) Градиент функции F (X , Y ) в точке М0(х0, у0) указывает направление наиболее быстрого возрастания функции в точке М0 . Кроме того, любое направление, составляющее с градиентом острый угол, является направлением роста функции в точке М0 . Другими словами, малое движение из точки (х0, у0) по направлению градиента функции в этой точке ведет к росту функции, причем в наибольшей степени.
Рассмотрим вектор, противоположный градиенту. Он называется Антиградиентом . Координаты этого вектора равны:
Антиградиент функции F (X , Y ) в точке М0(х0, у0) указывает направление наиболее быстрого убывания функции в точке М0 . Любое направление, образующее острый угол с антиградиентом, является направлением убывания функции в этой точке.
3) При исследовании функции часто возникает необходимость нахождения таких пар (х, у) из области определения функции, при которых функция принимает одинаковые значения. Рассмотрим множество точек (X , Y ) из области определения функции F (X , Y ) , таких, что F (X , Y )= Const , где запись “ Const ” означает, что значение функции зафиксировано и равно некоторому числу из области значений функции.
Определение. Линией уровня функции U = F ( X , Y ) называется линия F (X , Y )=С на плоскости XOy , в точках которой функция сохраняет постоянное значение U = C .
Линии уровня геометрически изображаются на плоскости изменения независимых переменных в виде кривых линий. Получение линий уровня можно представить себе следующим образом. Рассмотрим множество С , которое состоит из точек трехмерного пространства с координатами (X , Y , F (X , Y )= Const ), которые, с одной стороны, принадлежат графику функции Z = F (X , Y ), с другой - лежат в плоскости, параллельной координатной плоскости ХОУ , и отстоящей от неё на величину, равную заданной константе. Тогда для построения линии уровня достаточно поверхность графика функции пересечь плоскостью Z = Const и линию пересечения спроектировать на плоскость ХОУ . Проведенное рассуждение является обоснованием возможности непосредственно строить линии уровня на плоскости ХОУ .
Определение. Множество линий уровня называют Картой линий уровня .
Хорошо известны примеры линий уровня – уровни одинаковых высот на топографической карте и линии одинакового барометрического давления на карте погоды.
Определение.
Направление, вдоль которого скорость увеличения функции максимальна, называется «предпочтительным» направлением
, или Направлением наискорейшего роста
.
«Предпочтительное» направление задается вектором-градиентом функции. На рис. 35 изображены максимум, минимум и седловая точка в задаче оптимизации функции двух переменных при отсутствии ограничений. В нижней части рисунка изображены линии уровня и направления наискорейшего роста.
Пример 50. Найти линии уровня функции U = X 2 + Y 2 .
Решение. Уравнение семейства линий уровня имеет вид X 2 + Y 2 = C (C >0) . Придавая С различные действительные значения, получим концентрические окружности с центром в начале координат.
Построение линий уровня. Их анализ находит широкое применение в экономических задачах микро - и макроуровня, теории равновесия и эффективных решений. Изокосты, изокванты, кривые безразличия – это все линии уровня, построенные для разных экономических функций.
Пример 51. Рассмотрим следующую экономическую ситуацию. Пусть производство продукции описывается Функцией Кобба-Дугласа F (X , Y )=10х1/3у2/3 , где Х – количество труда, У – количество капитала. На приобретение ресурсов выделено 30 у. ед., цена труда составляет 5 у. ед., капитала – 10 у. ед. Зададимся вопросом: какой наибольший выпуск можно получить в данных условиях? Здесь под «данными условиями» имеются в виду заданные технологии, цены на ресурсы, вид производственной функции. Как уже отмечалось, функция Кобба-Дугласа является монотонно возрастающей по каждой переменной, т. е. увеличение каждого вида ресурса ведет к росту выпуска. В данных условиях ясно, что увеличивать приобретение ресурсов можно до тех пор, пока хватает денег. Наборы ресурсов, стоимость которых составляет 30 у. ед., удовлетворяют условию:
5х + 10у = 30,
Т. е. определяют линию уровня функции:
G (X , Y ) = 5х + 10у.
С другой стороны, с помощью линий уровня Функции Кобба-Дугласа (рис. 36) можно показать возрастание функции: в любой точке линии уровня направление градиента – это направление наибольшего возрастания, а для построения градиента в точке достаточно провести касательную к линии уровня в этой точке, построить перпендикуляр к касательной и указать направление градиента. Из рис. 36 видно, что движение линии уровня функции Кобба-Дугласа вдоль градиента следует производить до тех пор, пока она не станет касательной к линии уровня 5х + 10у = 30 . Таким образом, с помощью понятий линии уровня, градиента, свойств градиента можно выработать подходы к наилучшему использованию ресурсов с точки зрения увеличения объемов выпускаемой продукции.
Определение. Поверхностью уровня функции U = F ( X , Y , Z ) называется поверхность F (X , Y , Z )=С, в точках которой функция сохраняет постоянное значение U = C .
Пример 52. Найти поверхности уровня функции U = X 2 + Z 2 - Y 2 .
Решение. Уравнение семейства поверхностей уровня имеет вид X 2 + Z 2 - Y 2 =С . Если С=0 , то получаем X 2 + Z 2 - Y 2 =0 – конус; если C <0 , то X 2 + Z 2 - Y 2 =С – Семейство двуполостных гиперболоидов.
