Перевести 15 в двоичную систему счисления. Перевод чисел в различные системы счисления с решением

Инструкция

Видео по теме

В той системе счета, которой мы пользуемся каждый день, десять цифр - от нуля до девяти. Поэтому она называется десятичной. Однако в технических расчетах, особенно тех, которые имеют отношение к компьютерам, используются и другие системы , в частности, двоичная и шестнадцатеричная. Поэтому нужно уметь переводить числа из одной системы счисления в другую.

Вам понадобится

• - листок бумаги;
• - карандаш или ручка;
• - калькулятор.

Инструкция

Двоичная система - самая простая. В ней всего две цифры - ноль и единица. Каждая цифра двоичного числа , начиная с конца, соответствует степени двойки. Два в равняется одному, в первой - двум, во второй - четырем, в третьей - восьми, и так далее.

Предположим, что вам дано двоичное число 1010110. Единицы в нем стоят на втором, третьем, пятом и седьмом с конца местах. Поэтому в десятичной системе это число равно 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.

Обратная задача - десятичного числа систему. Предположим, у вас есть число 57. Чтобы получить его запись, вы должны последовательно делить это число на 2 и записывать остаток от деления. Двоичное число будет строиться от конца к началу.
Первый шаг даст вам последнюю цифру: 57/2 = 28 (остаток 1).
Затем вы получаете вторую с конца: 28/2 = 14 (остаток 0).
Дальнейшие шаги: 14/2 = 7 (остаток 0);
7/2 = 3 (остаток 1);
3/2 = 1 (остаток 1);
1/2 = 0 (остаток 1).
Это последний шаг, потому что результат деления равен нулю. В итоге вы получили двоичное число 111001.
Проверьте правильность ответа: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.

Вторая , используемая в компьютерных вопросах - шестнадцатеричная. В ней не десять, а шестнадцать цифр. Чтобы не новых условных обозначений, первые десять цифр шестнадцатеричной системы обозначаются обычными цифрами, а остальные шесть - латинскими буквами: A, B, C, D, E, F. десятичной записи они соответствуют числа м от 10 до 15. Во избежание путаницы перед числом, записанным по шестнадцатеричной системе, ставят знак # или символы 0x.

Обратный перевод из десятичной системы в шестнадцатеричную совершается тем же методом остатков, что и в двоичную. Например, возьмите число 10000. Последовательно деля его на 16 и записывая остатки, вы получите:
10000/16 = 625 (остаток 0).
625/16 = 39 (остаток 1).
39/16 = 2 (остаток 7).
2/16 = 0 (остаток 2).
Результатом вычислений станет шестнадцатеричное число #2710.
Проверьте правильность ответа: #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.

Переводить числа из шестнадцатеричной системы в двоичную гораздо проще. Число 16 является двойки: 16 = 2^4. Поэтому каждую шестнадцатеричную цифру можно записать как четырехзначное двоичное число. Если у вас в двоичном числе получается меньше четырех знаков, добавляйте в начало нули.
Например, #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
Проверьте правильность ответа: оба числа в десятичной записи равны 8062.

Для перевода вам нужно разбить двоичное число на группы по четыре цифры, начиная с конца, и каждую такую группу заменить шестнадцатеричной цифрой.
Например, 11000110101001 превращается в (0011)(0001)(1010)(1001), что в шестнадцатеричной записи дает #31A9. Правильность ответа подтверждается переводом в десятичную запись: оба числа равны 12713.

Совет 5: Как перевести число в двоичную систему исчисления

Благодаря ограниченности в использовании символов двоичная система является наиболее удобной для использования в компьютерах и других цифровых устройствах. Символов всего два: 1 и 0, поэтому эту систему применяют в работе регистров.

Инструкция

Двоичная является позиционной, т.е. позиции каждой цифры в числе соответствует определенный разряд, который равен двум в соответствующей степени. Степень начинается с нуля и увеличивается по мере движения справа налево. Например, число 101 равно 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.

Рассмотрим десятичного числа в двоичную систему методом последовательного деления на 2.Чтобы перевести десятичное число 25 в код, необходимо делить его на 2 до тех пор, пока не останется 0. Остатки, полученные на каждом шаге деления, записываются в строку справа налево, после записи цифры последнего остатка это и будет итоговое

В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)

Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни.

Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.

Попробуем считать в двоичной системе:
0 – это ноль
1 – это один (и это предел разряда)
10 – это два
11 – это три (и это снова предел)
100 – это четыре
101 – пять
110 – шесть
111 – семь и т.д.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

Не трудно заметить, что в двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Неплохо бы уметь переводить двоичные числа в десятичные.

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д. Например:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0

Посмотрите на эту запись внимательно. Здесь цифры 1, 4, 7 и 6 - это набор цифр из которых состоит число 1476. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.

Аналогично можно разложить и любое двоичное число. Только основание здесь будет 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:

10001001 2 = 137 10

Почему двоичная система счисления так распространена?

Дело в том, что двоичная система счисления – это язык вычислительной техники. Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе. Если это десятичная система, то придется создать такое устройство, которое может быть в десяти состояниях. Это сложно. Проще изготовить физический элемент, который может быть лишь в двух состояниях (например, есть ток или нет тока). Это одна из основных причин, почему двоичной системе счисления уделяется столько внимания.

Перевод десятичного числа в двоичное

Может потребоваться перевести десятичное число в двоичное. Один из способов – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 77 его двоичную запись.

Правило. Чтобы перевести число из одной системы счисления в другую, необходимо исходное число разделить на основание новой системы счисления. Полученное частное вновь поделить на основание новой системы счисления, и выполнять деление до тех пор. пока частное не будет меньше основания новой системы счисления. Полученные остатки от деления, начиная с последнего, записываются в обратном порядке. Это и будет запись числа в новой системе счисления.

Пример. Число 135 перевести из 10-тичной СС в 2-ичную, 8-ричную и 16-ричную системы счисления.

Задание 2.

Перевести в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную СС следующие числа 1275,973, 172

Обратный перевод чисел из любой СС в 10-тичную.

1) Чтобы перевести число из любой СС в исходную СС (обратный перевод), нужно каждую цифру этого числа умножить на основание исходной СС. начиная с нулевой цифры справа налево, и произведения сложить. Если переводится десятичная дробь, следует применить правило для записи целой и дробной части числа.

2) Обратный перевод чисел осуществляется по формуле:

где A – заданное число,

g – основание СС заданного числа (=2 для 2-ичной СС, для других СС - подобно),

m – число цифр в целой части числа.

n – число цифр в дробной части числа,

a – значение цифр заданного числа(запись дробной части числа выделена синим цветом).

110110 2 = 1*2 5 +1*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 =54 10

66 8 =6*8 1 +6*8 0 =48+6=54 10 9A 16 =9*16 1 +10*16 0 =144+10=154 10

13,4 8 =1*8 1 +3*8 0 +4*8 -1 =8+3+0.5=11.5 10 (это число – десятичная дробь)

Задание3.

Перевести в десятичную СС следующие числа:

101,11 2 =5,75 10 1011001 2 1011,101 2

125,7 8 =86 10 1253 8 175,132 8

A19BA 16 =2585726… 10 16A3 16 2BAFD 16

Перевод чисел с основанием, являющимся степенью числа 2 и обратный перевод. К таким СС относятся двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.

Правило. Перевод из двоичной СС в восьмеричную СС. Двоичное число делится на группы по 3 цифры с конца(справа налево) и каждая группа преобразуется числом в новом СС

10.000.101 2 =205 8

111.000.101.100 2 =7054 8

1.011.001.101 2 =1315 8

Правило. Для обратного преобразования каждая восьмеричная цифра записывается в виде триады.

Правило. Из двоичной СС в шестнадцатеричную СС: аналогично, но отделяем по 4 цифры

0110.0110.1011 2 =66B 16

1011.1111.0111 2 =BF7 16

10.1010.0111.0001 2 =2A71 16

Правило. Для обратного преобразования каждая шестнадцатеричная цифра записывается в виде тетрады.

Перевод правильных и неправильных дробей в разных СС. Если нужно перевести обыкновенную дробь, то сначала ее нужно перевести в десятичную дробь, а затем применить правила перевода десятичных дробей.

Правило. Перевод десятичных дробей, меньших единицы (правильные дроби).

1) необходимо отделить вертикальной чертой дробную часть;

2) умножить дробную часть на основании новой системы счисления;

3) результат записать строго под исходным числом, начиная с младшего разряда; если получится перенос в целую часть, то записать ее слева от черты;

4) умножение дробной части проводится до тех пор пока не будет получено число с заданной точностью, либо справа от черты не будет 0.

0,728 10 =0,564 8

Задание 4. Перевести из десятичной СС в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную СС следующие правильные дроби: .

Калькулятор позволяет переводить целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Основание системы счисления не может быть меньше 2 и больше 36 (10 цифр и 26 латинских букв всё-таки). Длина чисел не должна превышать 30 символов. Для ввода дробных чисел используйте символ. или, . Чтобы перевести число из одной системы в другую, введите исходное число в первое поле, основание исходной системы счисления во второе и основание системы счисления, в которую нужно перевести число, в третье поле, после чего нажмите кнопку "Получить запись".

Исходное число записано в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системе счисления .

Хочу получить запись числа в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системе счисления .

Получить запись

Выполнено переводов: 1363710

Системы счисления

Системы счисления делятся на два типа: позиционные и не позиционные . Мы пользуемся арабской системой, она является позиционной, а есть ещё римская − она как раз не позиционная. В позиционных системах положение цифры в числе однозначно определяет значение этого числа. Это легко понять, рассмотрев на примере какого-нибудь числа.

Пример 1 . Возьмём число 5921 в десятичной системе счисления. Пронумеруем число справа налево начиная с нуля:

Число 5921 можно записать в следующем виде: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Число 10 является характеристикой, определяющей систему счисления. В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Пример 2 . Рассмотрим вещественное десятичное число 1234.567. Пронумеруем его начиная с нулевой позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

Число 1234.567 можно записать в следующем виде: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 +6·10 -2 +7·10 -3 .

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Наиболее простым способом перевода числа с одной системы счисления в другую, является перевод числа сначала в десятичную систему счисления, а затем, полученного результата в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную достаточно пронумеровать его разряды, начиная с нулевого (разряд слева от десятичной точки) аналогично примерам 1 или 2. Найдём сумму произведений цифр числа на основание системы счисления в степени позиции этой цифры:

1. Перевести число 1001101.1101 2 в десятичную систему счисления.
Решение: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 -4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
Ответ: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Перевести число E8F.2D 16 в десятичную систему счисления.
Решение: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Ответ: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления целую и дробную части числа нужно переводить отдельно.

Перевод целой части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Целая часть переводится из десятичной системы счисления в другую систему счисления с помощью последовательного деления целой части числа на основание системы счисления до получения целого остатка, меньшего основания системы счисления. Результатом перевода будет являться запись из остатков, начиная с последнего.

3. Перевести число 273 10 в восьмиричную систему счисления.
Решение: 273 / 8 = 34 и остаток 1, 34 / 8 = 4 и остаток 2, 4 меньше 8, поэтому вычисления завершены. Запись из остатков будет иметь следующий вид: 421
Проверка : 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , результат совпал. Значит перевод выполнен правильно.
Ответ: 273 10 = 421 8

Рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в различные системы счисления.

Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Напомним, правильной десятичной дробью называется вещественное число с нулевой целой частью . Чтобы перевести такое число в систему счисления с основанием N нужно последовательно умножать число на N до тех пор, пока дробная часть не обнулится или же не будет получено требуемое количество разрядов. Если при умножении получается число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть дальше не учитывается, так как последовательно заносится в результат.

4. Перевести число 0.125 10 в двоичную систему счисления.
Решение: 0.125·2 = 0.25 (0 - целая часть, которая станет первой цифрой результата), 0.25·2 = 0.5 (0 - вторая цифра результата), 0.5·2 = 1.0 (1 - третья цифра результата, а так как дробная часть равна нулю, то перевод завершён).
Ответ: 0.125 10 = 0.001 2

Запишите число в двоичной системе счисления, а степени двойки справа налево. Например, мы хотим преобразовать двоичное число 10011011 2 в десятичное. Сначала запишем его. Затем запишем степени двойки справа налево. Начнем с 2 0 , что равно "1". Увеличиваем степень на единицу для каждого следующего числа. Останавливаемся, когда число элементов в списке равно числу цифр в двоичном числе. Наше число для примера, 10011011, включает в себя восемь цифр, поэтому список из восьми элементов будет выглядеть так: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

Запишите цифры двоичного числа под соответствующими степенями двойки. Теперь просто запишите 10011011 под числами 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, и 1, с тем чтобы каждая двоичная цифра соответствовала своей степени двойки. Самая правая "1" двоичного числа должна соответствовать самой правой "1" из степеней двоек, и так далее. Если вам удобнее, вы можете записать двоичное число над степенями двойки. Самое важное – чтобы они соответствовали друг другу.

Соедините цифры в двоичном числе с соответствующими степенями двойки. Нарисуйте линии (справа налево), которые соединяют каждую последующую цифру двоичного числа со степенью двойки, находящейся над ней. Начните построение линий с соединения первой цифры двоичного числа с первой степенью двойки над ней. Затем нарисуйте линию от второй цифры двоичного числа ко второй степени двойки. Продолжайте соединять каждую цифру с соответствующей степенью двойки. Это поможет вам визуально увидеть связь между двумя различными наборами чисел.

Запишите конечное значение каждой степени двойки. Пройдитесь по каждой цифре двоичного числа. Если эта цифра 1, запишите соответствующую степень двойки под цифрой. Если эта цифра 0, запишите под цифрой 0.

• Так как "1" соответствует "1", она остается "1". Так как "2" соответствует "1", она остается "2". Так как "4" соответствует "0", она становится "0". Так как "8" соответствует "1", она становится "8", и так как "16" соответствует "1" она становится "16". "32" соответствует "0" и становится "0", "64" соответствует "0" и поэтому становится "0", в то время как "128" соответствует "1" и становится 128.