Регрессионный анализ. R — значит регрессия

В статистическом моделировании регрессионный анализ представляет собой исследования, применяемые с целью оценки взаимосвязи между переменными. Этот математический метод включает в себя множество других методов для моделирования и анализа нескольких переменных, когда основное внимание уделяется взаимосвязи между зависимой переменной и одной или несколькими независимыми. Говоря более конкретно, регрессионный анализ помогает понять, как меняется типичное значение зависимой переменной, если одна из независимых переменных изменяется, в то время как другие независимые переменные остаются фиксированными.

Во всех случаях целевая оценка является функцией независимых переменных и называется функцией регрессии. В регрессионном анализе также представляет интерес характеристика изменения зависимой переменной как функции регрессии, которая может быть описана с помощью распределения вероятностей.

Задачи регрессионного анализа

Данный статистический метод исследования широко используется для прогнозирования, где его использование имеет существенное преимущество, но иногда это может приводить к иллюзии или ложным отношениям, поэтому рекомендуется аккуратно его использовать в указанном вопросе, поскольку, например, корреляция не означает причинно-следственной связи.

Разработано большое число методов для проведения регрессионного анализа, такие как линейная и обычная регрессии по методу наименьших квадратов, которые являются параметрическими. Их суть в том, что функция регрессии определяется в терминах конечного числа неизвестных параметров, которые оцениваются из данных. Непараметрическая регрессия позволяет ее функции лежать в определенном наборе функций, которые могут быть бесконечномерными.

Как статистический метод исследования, регрессионный анализ на практике зависит от формы процесса генерации данных и от того, как он относится к регрессионному подходу. Так как истинная форма процесса данных, генерирующих, как правило, неизвестное число, регрессионный анализ данных часто зависит в некоторой степени от предположений об этом процессе. Эти предположения иногда проверяемы, если имеется достаточное количество доступных данных. Регрессионные модели часто бывают полезны даже тогда, когда предположения умеренно нарушены, хотя они не могут работать с максимальной эффективностью.

В более узком смысле регрессия может относиться конкретно к оценке непрерывных переменных отклика, в отличие от дискретных переменных отклика, используемых в классификации. Случай непрерывной выходной переменной также называют метрической регрессией, чтобы отличить его от связанных с этим проблем.

История

Самая ранняя форма регрессии - это всем известный метод наименьших квадратов. Он был опубликован Лежандром в 1805 году и Гауссом в 1809. Лежандр и Гаусс применили метод к задаче определения из астрономических наблюдений орбиты тел вокруг Солнца (в основном кометы, но позже и вновь открытые малые планеты). Гаусс опубликовал дальнейшее развитие теории наименьших квадратов в 1821 году, включая вариант теоремы Гаусса-Маркова.

Термин «регресс» придумал Фрэнсис Гальтон в XIX веке, чтобы описать биологическое явление. Суть была в том, что рост потомков от роста предков, как правило, регрессирует вниз к нормальному среднему. Для Гальтона регрессия имела только этот биологический смысл, но позже его работа была продолжена Удни Йолей и Карлом Пирсоном и выведена к более общему статистическому контексту. В работе Йоля и Пирсона совместное распределение переменных отклика и пояснительных считается гауссовым. Это предположение было отвергнуто Фишером в работах 1922 и 1925 годов. Фишер предположил, что условное распределение переменной отклика является гауссовым, но совместное распределение не должны быть таковым. В связи с этим предположение Фишера ближе к формулировке Гаусса 1821 года. До 1970 года иногда уходило до 24 часов, чтобы получить результат регрессионного анализа.

Методы регрессионного анализа продолжают оставаться областью активных исследований. В последние десятилетия новые методы были разработаны для надежной регрессии; регрессии с участием коррелирующих откликов; методы регрессии, вмещающие различные типы недостающих данных; непараметрической регрессии; байесовские методов регрессии; регрессии, в которых переменные прогнозирующих измеряются с ошибкой; регрессии с большей частью предикторов, чем наблюдений, а также причинно-следственных умозаключений с регрессией.

Регрессионные модели

Модели регрессионного анализа включают следующие переменные:

• Неизвестные параметры, обозначенные как бета, которые могут представлять собой скаляр или вектор.
• Независимые переменные, X.
• Зависимые переменные, Y.

В различных областях науки, где осуществляется применение регрессионного анализа, используются различные термины вместо зависимых и независимых переменных, но во всех случаях регрессионная модель относит Y к функции X и β.

Приближение обычно оформляется в виде E (Y | X) = F (X, β). Для проведения регрессионного анализа должен быть определен вид функции f. Реже она основана на знаниях о взаимосвязи между Y и X, которые не полагаются на данные. Если такое знание недоступно, то выбрана гибкая или удобная форма F.

Зависимая переменная Y

Предположим теперь, что вектор неизвестных параметров β имеет длину k. Для выполнения регрессионного анализа пользователь должен предоставить информацию о зависимой переменной Y:

• Если наблюдаются точки N данных вида (Y, X), где N < k, большинство классических подходов к регрессионному анализу не могут быть выполнены, так как система уравнений, определяющих модель регрессии в качестве недоопределенной, не имеет достаточного количества данных, чтобы восстановить β.

• Если наблюдаются ровно N = K, а функция F является линейной, то уравнение Y = F (X, β) можно решить точно, а не приблизительно. Это сводится к решению набора N-уравнений с N-неизвестными (элементы β), который имеет единственное решение до тех пор, пока X линейно независим. Если F является нелинейным, решение может не существовать, или может существовать много решений.
• Наиболее распространенной является ситуация, где наблюдается N > точки к данным. В этом случае имеется достаточно информации в данных, чтобы оценить уникальное значение для β, которое наилучшим образом соответствует данным, и модель регрессии, когда применение к данным можно рассматривать как переопределенную систему в β.

В последнем случае регрессионный анализ предоставляет инструменты для:

• Поиска решения для неизвестных параметров β, которые будут, например, минимизировать расстояние между измеренным и предсказанным значением Y.
• При определенных статистических предположениях, регрессионный анализ использует избыток информации для предоставления статистической информации о неизвестных параметрах β и предсказанные значения зависимой переменной Y.

Необходимое количество независимых измерений

Рассмотрим модель регрессии, которая имеет три неизвестных параметра: β 0 , β 1 и β 2 . Предположим, что экспериментатор выполняет 10 измерений в одном и том же значении независимой переменной вектора X. В этом случае регрессионный анализ не дает уникальный набор значений. Лучшее, что можно сделать, оценить среднее значение и стандартное отклонение зависимой переменной Y. Аналогичным образом измеряя два различных значениях X, можно получить достаточно данных для регрессии с двумя неизвестными, но не для трех и более неизвестных.

Если измерения экспериментатора проводились при трех различных значениях независимой переменной вектора X, то регрессионный анализ обеспечит уникальный набор оценок для трех неизвестных параметров в β.

В случае общей линейной регрессии приведенное выше утверждение эквивалентно требованию, что матрица X Т X обратима.

Статистические допущения

Когда число измерений N больше, чем число неизвестных параметров k и погрешности измерений ε i , то, как правило, распространяется затем избыток информации, содержащейся в измерениях, и используется для статистических прогнозов относительно неизвестных параметров. Этот избыток информации называется степенью свободы регрессии.

Основополагающие допущения

Классические предположения для регрессионного анализа включают в себя:

• Выборка является представителем прогнозирования логического вывода.
• Ошибка является случайной величиной со средним значением нуля, который является условным на объясняющих переменных.
• Независимые переменные измеряются без ошибок.
• В качестве независимых переменных (предикторов) они линейно независимы, то есть не представляется возможным выразить любой предсказатель в виде линейной комбинации остальных.
• Ошибки являются некоррелированными, то есть ковариационная матрица ошибок диагоналей и каждый ненулевой элемент являются дисперсией ошибки.
• Дисперсия ошибки постоянна по наблюдениям (гомоскедастичности). Если нет, то можно использовать метод взвешенных наименьших квадратов или другие методы.

Эти достаточные условия для оценки наименьших квадратов обладают требуемыми свойствами, в частности эти предположения означают, что оценки параметров будут объективными, последовательными и эффективными, в особенности при их учете в классе линейных оценок. Важно отметить, что фактические данные редко удовлетворяют условиям. То есть метод используется, даже если предположения не верны. Вариация из предположений иногда может быть использована в качестве меры, показывающей, насколько эта модель является полезной. Многие из этих допущений могут быть смягчены в более продвинутых методах. Отчеты статистического анализа, как правило, включают в себя анализ тестов по данным выборки и методологии для полезности модели.

Кроме того, переменные в некоторых случаях ссылаются на значения, измеренные в точечных местах. Там могут быть пространственные тенденции и пространственные автокорреляции в переменных, нарушающие статистические предположения. Географическая взвешенная регрессия - единственный метод, который имеет дело с такими данными.

В линейной регрессии особенностью является то, что зависимая переменная, которой является Y i , представляет собой линейную комбинацию параметров. Например, в простой линейной регрессии для моделирования n-точек используется одна независимая переменная, x i , и два параметра, β 0 и β 1 .

При множественной линейной регрессии существует несколько независимых переменных или их функций.

При случайной выборке из популяции ее параметры позволяют получить образец модели линейной регрессии.

В данном аспекте популярнейшим является метод наименьших квадратов. С помощью него получают оценки параметров, которые минимизируют сумму квадратов остатков. Такого рода минимизация (что характерно именно линейной регрессии) этой функции приводит к набору нормальных уравнений и набору линейных уравнений с параметрами, которые решаются с получением оценок параметров.

При дальнейшем предположении, что ошибка популяции обычно распространяется, исследователь может использовать эти оценки стандартных ошибок для создания доверительных интервалов и проведения проверки гипотез о ее параметрах.

Нелинейный регрессионный анализ

Пример, когда функция не является линейной относительно параметров, указывает на то, что сумма квадратов должна быть сведена к минимуму с помощью итерационной процедуры. Это вносит много осложнений, которые определяют различия между линейными и нелинейными методами наименьших квадратов. Следовательно, и результаты регрессионного анализа при использовании нелинейного метода порой непредсказуемы.

Расчет мощности и объема выборки

Здесь, как правило, нет согласованных методов, касающихся числа наблюдений по сравнению с числом независимых переменных в модели. Первое правило было предложено Доброй и Хардином и выглядит как N = t^n, где N является размер выборки, n - число независимых переменных, а t есть числом наблюдений, необходимых для достижения желаемой точности, если модель имела только одну независимую переменную. Например, исследователь строит модель линейной регрессии с использованием набора данных, который содержит 1000 пациентов (N). Если исследователь решает, что необходимо пять наблюдений, чтобы точно определить прямую (м), то максимальное число независимых переменных, которые модель может поддерживать, равно 4.

Другие методы

Несмотря на то что параметры регрессионной модели, как правило, оцениваются с использованием метода наименьших квадратов, существуют и другие методы, которые используются гораздо реже. К примеру, это следующие методы:

• Байесовские методы (например, байесовский метод линейной регрессии).
• Процентная регрессия, использующаяся для ситуаций, когда снижение процентных ошибок считается более целесообразным.
• Наименьшие абсолютные отклонения, что является более устойчивым в присутствии выбросов, приводящих к квантильной регрессии.
• Непараметрическая регрессия, требующая большого количества наблюдений и вычислений.
• Расстояние метрики обучения, которая изучается в поисках значимого расстояния метрики в заданном входном пространстве.

Программное обеспечение

Все основные статистические пакеты программного обеспечения выполняются с помощью наименьших квадратов регрессионного анализа. Простая линейная регрессия и множественный регрессионный анализ могут быть использованы в некоторых приложениях электронных таблиц, а также на некоторых калькуляторах. Хотя многие статистические пакеты программного обеспечения могут выполнять различные типы непараметрической и надежной регрессии, эти методы менее стандартизированы; различные программные пакеты реализуют различные методы. Специализированное регрессионное программное обеспечение было разработано для использования в таких областях как анализ обследования и нейровизуализации.

• Tutorial

Статистика в последнее время получила мощную PR поддержку со стороны более новых и шумных дисциплин - Машинного Обучения и Больших Данных . Тем, кто стремится оседлать эту волну необходимо подружится с уравнениями регрессии . Желательно при этом не только усвоить 2-3 приемчика и сдать экзамен, а уметь решать проблемы из повседневной жизни: найти зависимость между переменными, а в идеале - уметь отличить сигнал от шума.

Для этой цели мы будем использовать язык программирования и среду разработки R , который как нельзя лучше приспособлен к таким задачам. Заодно, проверим от чего зависят рейтинг Хабрапоста на статистике собственных статей.

Введение в регрессионный анализ

Если имеется корреляционная зависимость между переменными y и x , возникает необходимость определить функциональную связь между двумя величинами. Зависимость среднего значения называется регрессией y по x .

Основу регрессионного анализа составляет метод наименьших квадратов (МНК) , в соответствии с которым в качестве уравнения регресии берется функция такая, что сумма квадратов разностей минимальна.

Карл Гаусс открыл, или точнее воссоздал, МНК в возрасте 18 лет, однако впервые результаты были опубликованы Лежандром в 1805 г. По непроверенным данным метод был известен еще в древнем Китае, откуда он перекочевал в Японию и только затем попал в Европу. Европейцы не стали делать из этого секрета и успешно запустили в производство, обнаружив с его помощью траекторию карликовой планеты Церес в 1801 г.

Вид функции , как правило, определен заранее, а с помощью МНК подбираются оптимальные значения неизвестных параметров. Метрикой рассеяния значений вокруг регрессии является дисперсия.

• k - число коэффициентов в системе уравнений регрессии.

Чаще всего используется модель линейной регрессии, а все нелинейные зависимости приводят к линейному виду с помощью алгебраических ухищрений, различных преобразования переменных y и x .

Линейная регрессия

Уравнения линейной регрессии можно записать в виде

В матричном виде это выгладит

• y - зависимая переменная;
• x - независимая переменная;
• β - коэффициенты, которые необходимо найти с помощью МНК;
• ε - погрешность, необъяснимая ошибка и отклонение от линейной зависимости;

Случайная величина может быть интерпретирована как сумма из двух слагаемых:

Еще одно ключевое понятие - коэффициент корреляции R 2 .

Ограничения линейной регрессии

Для того, чтобы использовать модель линейной регрессии необходимы некоторые допущения относительно распределения и свойств переменных.

Как обнаружить, что перечисленные выше условия не соблюдены? Ну, во первых довольно часто это видно невооруженным глазом на графике.

Неоднородность дисперсии

При возрастании дисперсии с ростом независимой переменной имеем график в форме воронки.

Нелинейную регрессии в некоторых случая также модно увидеть на графике довольно наглядно.

Тем не менее есть и вполне строгие формальные способы определить соблюдены ли условия линейной регрессии, или нарушены.

В этой формуле - коэффициент взаимной детерминации между и остальными факторами. Если хотя бы один из VIF-ов > 10, вполне резонно предположить наличие мультиколлинеарности.

Почему нам так важно соблюдение всех выше перечисленных условий? Все дело в Теореме Гаусса-Маркова , согласно которой оценка МНК является точной и эффективной лишь при соблюдении этих ограничений.

Как преодолеть эти ограничения

Нарушения одной или нескольких ограничений еще не приговор.

1. Нелинейность регрессии может быть преодолена преобразованием переменных, например через функцию натурального логарифма ln .
2. Таким же способом возможно решить проблему неоднородной дисперсии, с помощью ln , или sqrt преобразований зависимой переменной, либо же используя взвешенный МНК.
3. Для устранения проблемы мультиколлинеарности применяется метод исключения переменных. Суть его в том, что высоко коррелированные объясняющие переменные устраняются из регрессии , и она заново оценивается. Критерием отбора переменных, подлежащих исключению, является коэффициент корреляции. Есть еще один способ решения данной проблемы, который заключается в замене переменных, которым присуща мультиколлинеарность, их линейной комбинацией . Этим весь список не исчерпывается, есть еще пошаговая регрессия и другие методы.

К сожалению, не все нарушения условий и дефекты линейной регрессии можно устранить с помощью натурального логарифма. Если имеет место автокорреляция возмущений к примеру, то лучше отступить на шаг назад и построить новую и лучшую модель.

Линейная регрессия плюсов на Хабре

Итак, довольно теоретического багажа и можно строить саму модель.
Мне давно было любопытно от чего зависит та самая зелененькая цифра, что указывает на рейтинг поста на Хабре. Собрав всю доступную статистику собственных постов, я решил прогнать ее через модель линейно регрессии.

Загружает данные из tsv файла.

> hist <- read.table("~/habr_hist.txt", header=TRUE) > hist
points reads comm faves fb bytes 31 11937 29 19 13 10265 93 34122 71 98 74 14995 32 12153 12 147 17 22476 30 16867 35 30 22 9571 27 13851 21 52 46 18824 12 16571 44 149 35 9972 18 9651 16 86 49 11370 59 29610 82 29 333 10131 26 8605 25 65 11 13050 20 11266 14 48 8 9884 ...

• points - Рейтинг статьи
• reads - Число просмотров.
• comm - Число комментариев.
• faves - Добавлено в закладки.
• fb - Поделились в социальных сетях (fb + vk).
• bytes - Длина в байтах.

Проверка мультиколлинеарности.

> cor(hist) points reads comm faves fb bytes points 1.0000000 0.5641858 0.61489369 0.24104452 0.61696653 0.19502379 reads 0.5641858 1.0000000 0.54785197 0.57451189 0.57092464 0.24359202 comm 0.6148937 0.5478520 1.00000000 -0.01511207 0.51551030 0.08829029 faves 0.2410445 0.5745119 -0.01511207 1.00000000 0.23659894 0.14583018 fb 0.6169665 0.5709246 0.51551030 0.23659894 1.00000000 0.06782256 bytes 0.1950238 0.2435920 0.08829029 0.14583018 0.06782256 1.00000000

Вопреки моим ожиданиям наибольшая отдача не от количества просмотров статьи, а от комментариев и публикаций в социальных сетях . Я также полагал, что число просмотров и комментариев будет иметь более сильную корреляцию, однако зависимость вполне умеренная - нет надобности исключать ни одну из независимых переменных.

Теперь собственно сама модель, используем функцию lm .

regmodel <- lm(points ~., data = hist) summary(regmodel) Call: lm(formula = points ~ ., data = hist) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -26.920 -9.517 -0.559 7.276 52.851 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 1.029e+01 7.198e+00 1.430 0.1608 reads 8.832e-05 3.158e-04 0.280 0.7812 comm 1.356e-01 5.218e-02 2.598 0.0131 * faves 2.740e-02 3.492e-02 0.785 0.4374 fb 1.162e-01 4.691e-02 2.476 0.0177 * bytes 3.960e-04 4.219e-04 0.939 0.3537 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 16.65 on 39 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.5384, Adjusted R-squared: 0.4792 F-statistic: 9.099 on 5 and 39 DF, p-value: 8.476e-06

В первой строке мы задаем параметры линейной регрессии. Строка points ~. определяет зависимую переменную points и все остальные переменные в качестве регрессоров. Можно определить одну единственную независимую переменную через points ~ reads , набор переменных - points ~ reads + comm .

Перейдем теперь к расшифровке полученных результатов.

Можно попытаться несколько улучшить модель, сглаживая нелинейные факторы: комментарии и посты в социальных сетях. Заменим значения переменных fb и comm их степенями.

> hist$fb = hist$fb^(4/7) > hist$comm = hist$comm^(2/3)

Проверим значения параметров линейной регрессии.

> regmodel <- lm(points ~., data = hist) > summary(regmodel) Call: lm(formula = points ~ ., data = hist) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -22.972 -11.362 -0.603 7.977 49.549 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 2.823e+00 7.305e+00 0.387 0.70123 reads -6.278e-05 3.227e-04 -0.195 0.84674 comm 1.010e+00 3.436e-01 2.938 0.00552 ** faves 2.753e-02 3.421e-02 0.805 0.42585 fb 1.601e+00 5.575e-01 2.872 0.00657 ** bytes 2.688e-04 4.108e-04 0.654 0.51677 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 16.21 on 39 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.5624, Adjusted R-squared: 0.5062 F-statistic: 10.02 on 5 and 39 DF, p-value: 3.186e-06

Как видим в целом отзывчивость модели возросла, параметры подтянулись и стали более шелковистыми, F-статистика выросла, так же как и скорректированный коэффициент детерминации.

Проверим, соблюдены ли условия применимости модели линейной регрессии? Тест Дарбина-Уотсона проверяет наличие автокорреляции возмущений.

> dwtest(hist$points ~., data = hist) Durbin-Watson test data: hist$points ~ . DW = 1.585, p-value = 0.07078 alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

И напоследок проверка неоднородности дисперсии с помощью теста Бройша-Пагана.

> bptest(hist$points ~., data = hist) studentized Breusch-Pagan test data: hist$points ~ . BP = 6.5315, df = 5, p-value = 0.2579

В заключение

Конечно наша модель линейной регрессии рейтинга Хабра-топиков получилось не самой удачной. Нам удалось объяснить не более, чем половину вариативности данных. Факторы надо чинить, чтобы избавляться от неоднородной дисперсии, с автокорреляцией тоже непонятно. Вообще данных маловато для сколь-нибудь серьезной оценки.

Но с другой стороны, это и хорошо. Иначе любой наспех написанный тролль-пост на Хабре автоматически набирал бы высокий рейтинг, а это к счастью не так.

Использованные материалы

1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. - М.: Физматлит, 2006.
2. William H. Green Econometric Analysis

Теги: Добавить метки

В предыдущих заметках предметом анализа часто становилась отдельная числовая переменная, например, доходность взаимных фондов, время загрузки Web-страницы или объем потребления безалкогольных напитков. В настоящей и следующих заметках мы рассмотрим методы предсказания значений числовой переменной в зависимости от значений одной или нескольких других числовых переменных.

Материал будет проиллюстрирован сквозным примером. Прогнозирование объема продаж в магазине одежды. Сеть магазинов уцененной одежды Sunflowers на протяжении 25 лет постоянно расширялась. Однако в настоящее время у компании нет систематического подхода к выбору новых торговых точек. Место, в котором компания собирается открыть новый магазин, определяется на основе субъективных соображений. Критериями выбора являются выгодные условия аренды или представления менеджера об идеальном местоположении магазина. Представьте, что вы - руководитель отдела специальных проектов и планирования. Вам поручили разработать стратегический план открытия новых магазинов. Этот план должен содержать прогноз годового объема продаж во вновь открываемых магазинах. Вы полагаете, что торговая площадь непосредственно связана с объемом выручки, и хотите учесть этот факт в процессе принятия решения. Как разработать статистическую модель, позволяющую прогнозировать годовой объем продаж на основе размера нового магазина?

Как правило, для предсказания значений переменной используется регрессионный анализ. Его цель - разработать статистическую модель, позволяющую предсказывать значения зависимой переменной, или отклика, по значениям, по крайней мере одной, независимой, или объясняющей, переменной. В настоящей заметке мы рассмотрим простую линейную регрессию - статистический метод, позволяющий предсказывать значения зависимой переменной Y по значениям независимой переменной X . В последующих заметках будет описана модель множественной регрессии, предназначенная для предсказания значений независимой переменной Y по значениям нескольких зависимых переменных (Х 1 , Х 2 , …, X k ).

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Виды регрессионных моделей

где ρ 1 – коэффициент автокорреляции; если ρ 1 = 0 (нет автокорреляции), D ≈ 2; если ρ 1 ≈ 1 (положительная автокорреляции), D ≈ 0; если ρ 1 = -1 (отрицательная автокорреляции), D ≈ 4.

На практике применение критерия Дурбина-Уотсона основано на сравнении величины D с критическими теоретическими значениями d L и d U для заданного числа наблюдений n , числа независимых переменных модели k (для простой линейной регрессии k = 1) и уровня значимости α. Если D < d L , гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно, присутствует положительная автокорреляция); если D > d U , гипотеза не отвергается (то есть автокорреляция отсутствует); если d L < D < d U , нет достаточных оснований для принятия решения. Когда расчётное значение D превышает 2, то с d L и d U сравнивается не сам коэффициент D , а выражение (4 – D ).

Для вычисления статистики Дурбина-Уотсона в Excel обратимся к нижней таблице на рис. 14 Вывод остатка . Числитель в выражении (10) вычисляется с помощью функции =СУММКВРАЗН(массив1;массив2), а знаменатель =СУММКВ(массив) (рис. 16).

Рис. 16. Формулы расчета статистики Дурбина-Уотсона

В нашем примере D = 0,883. Основной вопрос заключается в следующем - какое значение статистики Дурбина-Уотсона следует считать достаточно малым, чтобы сделать вывод о существовании положительной автокорреляции? Необходимо соотнести значение D с критическими значениями (d L и d U ), зависящими от числа наблюдений n и уровня значимости α (рис. 17).

Рис. 17. Критические значения статистики Дурбина-Уотсона (фрагмент таблицы)

Таким образом, в задаче об объеме продаж в магазине, доставляющем товары на дом, существуют одна независимая переменная (k = 1), 15 наблюдений (n = 15) и уровень значимости α = 0,05. Следовательно, d L = 1,08 и d U = 1,36. Поскольку D = 0,883 < d L = 1,08, между остатками существует положительная автокорреляция, метод наименьших квадратов применять нельзя.

Проверка гипотез о наклоне и коэффициенте корреляции

Выше регрессия применялась исключительно для прогнозирования. Для определения коэффициентов регрессии и предсказания значения переменной Y при заданной величине переменной X использовался метод наименьших квадратов. Кроме того, мы рассмотрели среднеквадратичную ошибку оценки и коэффициент смешанной корреляции. Если анализ остатков подтверждает, что условия применимости метода наименьших квадратов не нарушаются, и модель простой линейной регрессии является адекватной, на основе выборочных данных можно утверждать, что между переменными в генеральной совокупности существует линейная зависимость.

Применение t -критерия для наклона. Проверяя, равен ли наклон генеральной совокупности β 1 нулю, можно определить, существует ли статистически значимая зависимость между переменными X и Y . Если эта гипотеза отклоняется, можно утверждать, что между переменными X и Y существует линейная зависимость. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0: β 1 = 0 (нет линейной зависимости), Н1: β 1 ≠ 0 (есть линейная зависимость). По определению t -статистика равна разности между выборочным наклоном и гипотетическим значением наклона генеральной совокупности, деленной на среднеквадратичную ошибку оценки наклона:

(11) t = (b 1 – β 1 ) / S b 1

где b 1 – наклон прямой регрессии по выборочным данным, β1 – гипотетический наклон прямой генеральной совокупности, , а тестовая статистика t имеет t -распределение с n – 2 степенями свободы.

Проверим, существует ли статистически значимая зависимость между размером магазина и годовым объемом продаж при α = 0,05. t -критерий выводится наряду с другими параметрами при использовании Пакета анализа (опция Регрессия ). Полностью результаты работы Пакета анализа приведены на рис. 4, фрагмент, относящийся к t-статистике – на рис. 18.

Рис. 18. Результаты применения t

Поскольку число магазинов n = 14 (см. рис.3), критическое значение t -статистики при уровне значимости α = 0,05 можно найти по формуле: t L =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,025;12) = –2,1788, где 0,025 – половина уровня значимости, а 12 = n – 2; t U =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;12) = +2,1788.

Поскольку t -статистика = 10,64 > t U = 2,1788 (рис. 19), нулевая гипотеза Н 0 отклоняется. С другой стороны, р -значение для Х = 10,6411, вычисляемое по формуле =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(D3;12;ИСТИНА), приближенно равно нулю, поэтому гипотеза Н 0 снова отклоняется. Тот факт, что р -значение почти равно нулю, означает, что если бы между размерами магазинов и годовым объемом продаж не существовало реальной линейной зависимости, обнаружить ее с помощью линейной регрессии было бы практически невозможно. Следовательно, между средним годовым объемом продаж в магазинах и их размером существует статистически значимая линейная зависимость.

Рис. 19. Проверка гипотезы о наклоне генеральной совокупности при уровне значимости, равном 0,05, и 12 степенях свободы

Применение F -критерия для наклона. Альтернативным подходом к проверке гипотез о наклоне простой линейной регрессии является использование F -критерия. Напомним, что F -критерий применяется для проверки отношения между двумя дисперсиями (подробнее см. ). При проверке гипотезы о наклоне мерой случайных ошибок является дисперсия ошибки (сумма квадратов ошибок, деленная на количество степеней свободы), поэтому F -критерий использует отношение дисперсии, объясняемой регрессией (т.е. величины SSR , деленной на количество независимых переменных k ), к дисперсии ошибок (MSE = S Y X 2 ).

По определению F -статистика равна среднему квадрату отклонений, обусловленных регрессией (MSR), деленному на дисперсию ошибки (MSE): F = MSR / MSE , где MSR = SSR / k , MSE = SSE /(n – k – 1), k – количество независимых переменных в регрессионной модели. Тестовая статистика F имеет F -распределение с k и n – k – 1 степенями свободы.

При заданном уровне значимости α решающее правило формулируется так: если F > F U , нулевая гипотеза отклоняется; в противном случае она не отклоняется. Результаты, оформленные в виде сводной таблицы дисперсионного анализа, приведены на рис. 20.

Рис. 20. Таблица дисперсионного анализа для проверки гипотезы о статистической значимости коэффициента регрессии

Аналогично t -критерию F -критерий выводится в таблицу при использовании Пакета анализа (опция Регрессия ). Полностью результаты работы Пакета анализа приведены на рис. 4, фрагмент, относящийся к F -статистике – на рис. 21.

Рис. 21. Результаты применения F -критерия, полученные с помощью Пакета анализа Excel

F-статистика равна 113,23, а р -значение близко к нулю (ячейка Значимость F ). Если уровень значимости α равен 0,05, определить критическое значение F -распределения с одной и 12 степенями свободы можно по формуле F U =F.ОБР(1-0,05;1;12) = 4,7472 (рис. 22). Поскольку F = 113,23 > F U = 4,7472, причем р -значение близко к 0 < 0,05, нулевая гипотеза Н 0 отклоняется, т.е. размер магазина тесно связан с его годовым объемом продаж.

Рис. 22. Проверка гипотезы о наклоне генеральной совокупности при уровне значимости, равном 0,05, с одной и 12 степенями свободы

Доверительный интервал, содержащий наклон β 1 . Для проверки гипотезы о существовании линейной зависимости между переменными можно построить доверительный интервал, содержащий наклон β 1 и убедиться, что гипотетическое значение β 1 = 0 принадлежит этому интервалу. Центром доверительного интервала, содержащего наклон β 1 , является выборочный наклон b 1 , а его границами - величины b 1 ± t n –2 S b 1

Как показано на рис. 18, b 1 = +1,670, n = 14, S b 1 = 0,157. t 12 =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;12) = 2,1788. Следовательно, b 1 ± t n –2 S b 1 = +1,670 ± 2,1788 * 0,157 = +1,670 ± 0,342, или + 1,328 ≤ β 1 ≤ +2,012. Таким образом, наклон генеральной совокупности с вероятностью 0,95 лежит в интервале от +1,328 до +2,012 (т.е. от 1 328 000 до 2 012 000 долл.). Поскольку эти величины больше нуля, между годовым объемом продаж и площадью магазина существует статистически значимая линейная зависимость. Если бы доверительный интервал содержал нуль, между переменными не было бы зависимости. Кроме того, доверительный интервал означает, что каждое увеличение площади магазина на 1 000 кв. футов приводит к увеличению среднего объема продаж на величину от 1 328 000 до 2 012 000 долларов.

Использование t -критерия для коэффициента корреляции. был введен коэффициент корреляции r , представляющий собой меру зависимости между двумя числовыми переменными. С его помощью можно установить, существует ли между двумя переменными статистически значимая связь. Обозначим коэффициент корреляции между генеральными совокупностями обеих переменных символом ρ. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0 : ρ = 0 (нет корреляции), Н 1 : ρ ≠ 0 (есть корреляция). Проверка существования корреляции:

где r = + , если b 1 > 0, r = – , если b 1 < 0. Тестовая статистика t имеет t -распределение с n – 2 степенями свободы.

В задаче о сети магазинов Sunflowers r 2 = 0,904, а b 1 - +1,670 (см. рис. 4). Поскольку b 1 > 0, коэффициент корреляции между объемом годовых продаж и размером магазина равен r = +√0,904 = +0,951. Проверим нулевую гипотезу, утверждающую, что между этими переменными нет корреляции, используя t -статистику:

При уровне значимости α = 0,05 нулевую гипотезу следует отклонить, поскольку t = 10,64 > 2,1788. Таким образом, можно утверждать, что между объемом годовых продаж и размером магазина существует статистически значимая связь.

При обсуждении выводов, касающихся наклона генеральной совокупности, доверительные интервалы и критерии для проверки гипотез являются взаимозаменяемыми инструментами. Однако вычисление доверительного интервала, содержащего коэффициент корреляции, оказывается более сложным делом, поскольку вид выборочного распределения статистики r зависит от истинного коэффициента корреляции.

Оценка математического ожидания и предсказание индивидуальных значений

В этом разделе рассматриваются методы оценки математического ожидания отклика Y и предсказания индивидуальных значений Y при заданных значениях переменной X .

Построение доверительного интервала. В примере 2 (см. выше раздел Метод наименьших квадратов ) регрессионное уравнение позволило предсказать значение переменной Y X . В задаче о выборе места для торговой точки средний годовой объем продаж в магазине площадью 4000 кв. футов был равен 7,644 млн. долл. Однако эта оценка математического ожидания генеральной совокупности является точечной. для оценки математического ожидания генеральной совокупности была предложена концепция доверительного интервала. Аналогично можно ввести понятие доверительного интервала для математического ожидания отклика при заданном значении переменной X :

где , = b 0 + b 1 X i – предсказанное значение переменное Y при X = X i , S YX – среднеквадратичная ошибка, n – объем выборки, X i - заданное значение переменной X , µ Y | X = X i – математическое ожидание переменной Y при Х = Х i , SSX =

Анализ формулы (13) показывает, что ширина доверительного интервала зависит от нескольких факторов. При заданном уровне значимости возрастание амплитуды колебаний вокруг линии регрессии, измеренное с помощью среднеквадратичной ошибки, приводит к увеличению ширины интервала. С другой стороны, как и следовало ожидать, увеличение объема выборки сопровождается сужением интервала. Кроме того, ширина интервала изменяется в зависимости от значений X i . Если значение переменной Y предсказывается для величин X , близких к среднему значению , доверительный интервал оказывается уже, чем при прогнозировании отклика для значений, далеких от среднего.

Допустим, что, выбирая место для магазина, мы хотим построить 95%-ный доверительный интервал для среднего годового объема продаж во всех магазинах, площадь которых равна 4000 кв. футов:

Следовательно, средний годовой объем продаж во всех магазинах, площадь которых равна 4 000 кв. футов, с 95% -ной вероятностью лежит в интервале от 6,971 до 8,317 млн. долл.

Вычисление доверительного интервала для предсказанного значения. Кроме доверительного интервала для математического ожидания отклика при заданном значении переменной X , часто необходимо знать доверительный интервал для предсказанного значения. Несмотря на то что формула для вычисления такого доверительного интервала очень похожа на формулу (13), этот интервал содержит предсказанное значение, а не оценку параметра. Интервал для предсказанного отклика Y X = Xi при конкретном значении переменной X i определяется по формуле:

Предположим, что, выбирая место для торговой точки, мы хотим построить 95%-ный доверительный интервал для предсказанного годового объема продаж в магазине, площадь которого равна 4000 кв. футов:

Следовательно, предсказанный годовой объем продаж в магазине, площадь которого равна 4000 кв. футов, с 95%-ной вероятностью лежит в интервале от 5,433 до 9,854 млн. долл. Как видим, доверительный интервал для предсказанного значения отклика намного шире, чем доверительный интервал для его математического ожидания. Это объясняется тем, что изменчивость при прогнозировании индивидуальных значений намного больше, чем при оценке математического ожидания.

Подводные камни и этические проблемы, связанные с применением регрессии

Трудности, связанные с регрессионным анализом:

• Игнорирование условий применимости метода наименьших квадратов.
• Ошибочная оценка условий применимости метода наименьших квадратов.
• Неправильный выбор альтернативных методов при нарушении условий применимости метода наименьших квадратов.
• Применение регрессионного анализа без глубоких знаний о предмете исследования.
• Экстраполяция регрессии за пределы диапазона изменения объясняющей переменной.
• Путаница между статистической и причинно-следственной зависимостями.

Широкое распространение электронных таблиц и программного обеспечения для статистических расчетов ликвидировало вычислительные проблемы, препятствовавшие применению регрессионного анализа. Однако это привело к тому, что регрессионный анализ стали применять пользователи, не обладающие достаточной квалификацией и знаниями. Откуда пользователям знать об альтернативных методах, если многие из них вообще не имеют ни малейшего понятия об условиях применимости метода наименьших квадратов и не умеют проверять их выполнение?

Исследователь не должен увлекаться перемалыванием чисел - вычислением сдвига, наклона и коэффициента смешанной корреляции. Ему нужны более глубокие знания. Проиллюстрируем это классическим примером, взятым из учебников. Анскомб показал, что все четыре набора данных, приведенных на рис. 23, имеют одни и те же параметры регрессии (рис. 24).

Рис. 23. Четыре набора искусственных данных

Рис. 24. Регрессионный анализ четырех искусственных наборов данных; выполнен с помощью Пакета анализа (кликните на рисунке, чтобы увеличить изображение)

Итак, с точки зрения регрессионного анализа все эти наборы данных совершенно идентичны. Если бы анализ был на этом закончен, мы потеряли бы много полезной информации. Об этом свидетельствуют диаграммы разброса (рис. 25) и графики остатков (рис. 26), построенные для этих наборов данных.

Рис. 25. Диаграммы разброса для четырех наборов данных

Диаграммы разброса и графики остатков свидетельствуют о том, что эти данные отличаются друг от друга. Единственный набор, распределенный вдоль прямой линии, - набор А. График остатков, вычисленных по набору А, не имеет никакой закономерности. Этого нельзя сказать о наборах Б, В и Г. График разброса, построенный по набору Б, демонстрирует ярко выраженную квадратичную модель. Этот вывод подтверждается графиком остатков, имеющим параболическую форму. Диаграмма разброса и график остатков показывают, что набор данных В содержит выброс. В этой ситуации необходимо исключить выброс из набора данных и повторить анализ. Метод, позволяющий обнаруживать и исключать выбросы из наблюдений, называется анализом влияния. После исключения выброса результат повторной оценки модели может оказаться совершенно иным. Диаграмма разброса, построенная по данным из набора Г, иллюстрирует необычную ситуацию, в которой эмпирическая модель значительно зависит от отдельного отклика (Х 8 = 19, Y 8 = 12,5). Такие регрессионные модели необходимо вычислять особенно тщательно. Итак, графики разброса и остатков являются крайне необходимым инструментом регрессионного анализа и должны быть его неотъемлемой частью. Без них регрессионный анализ не заслуживает доверия.

Рис. 26. Графики остатков для четырех наборов данных

Как избежать подводных камней при регрессионном анализе:

• Анализ возможной взаимосвязи между переменными X и Y всегда начинайте с построения диаграммы разброса.
• Прежде чем интерпретировать результаты регрессионного анализа, проверяйте условия его применимости.
• Постройте график зависимости остатков от независимой переменной. Это позволит определить, насколько эмпирическая модель соответствует результатам наблюдения, и обнаружить нарушение постоянства дисперсии.
• Для проверки предположения о нормальном распределении ошибок используйте гистограммы, диаграммы «ствол и листья», блочные диаграммы и графики нормального распределения.
• Если условия применимости метода наименьших квадратов не выполняются, используйте альтернативные методы (например, модели квадратичной или множественной регрессии).
• Если условия применимости метода наименьших квадратов выполняются, необходимо проверить гипотезу о статистической значимости коэффициентов регрессии и построить доверительные интервалы, содержащие математическое ожидание и предсказанное значение отклика.
• Избегайте предсказывать значения зависимой переменной за пределами диапазона изменения независимой переменной.
• Имейте в виду, что статистические зависимости не всегда являются причинно-следственными. Помните, что корреляция между переменными не означает наличия причинно-следственной зависимости между ними.

Резюме. Как показано на структурной схеме (рис. 27), в заметке описаны модель простой линейной регрессии, условия ее применимости и способы проверки этих условий. Рассмотрен t -критерий для проверки статистической значимости наклона регрессии. Для предсказания значений зависимой переменной использована регрессионная модель. Рассмотрен пример, связанный с выбором места для торговой точки, в котором исследуется зависимость годового объема продаж от площади магазина. Полученная информация позволяет точнее выбрать место для магазина и предсказать его годовой объем продаж. В следующих заметках будет продолжено обсуждение регрессионного анализа, а также рассмотрены модели множественной регрессии.

Рис. 27. Структурная схема заметки

Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 792–872

Если зависимая переменная является категорийной, необходимо применять логистическую регрессию.

Лекция 4

1. Элементы статистического анализа модели
2. Проверка статистической значимости параметров уравнения регрессии
3. Анализ дисперсии
4. Проверка общего качества уравнения регрессии
5. F-статистика. Распределение Фишера в регрессионном анализе.

Оценивая зависимость между эндогенными и экзогенными переменными (y и x) по выборочным данным не всегда удается на первом этапе получить удачную модель регрессии. При этом каждый раз следует оценивать качество полученной модели. Качество модели оценивается по 2м направлениям:

· Статистическая оценка качества модели

Статистический анализ модели включает следующие элементы:

• Проверку статистической значимости параметров уравнения регрессии
• Проверку общего качества уравнения регрессии
• Проверку свойств данных, выполнение которых предполагалось при оценивании уравнения

Статистическая значимость параметров уравнения регрессии определяется по t-статистике или статистике Стьюдента. Так:

tb – t-статистика для коэффициента регрессии b

mb – стандартная ошибка коэффициента регрессии.

Так же рассчитывают t-статистику для коэффициентов корреляции R:

Таким образом tb^2=t r ^2=F. То есть проверка статистической значимости коэффициента регрессии b равносильна проверке статистической значимости коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции показывает тесноту корреляционной связи(между х и у).

Для линейной регрессии коэффициент корреляции:

Для определения тесноты связи используют обычно таблицу Чеглока

R 0,1 – 0,3 слабая

R 0,3 – 0,5 умеренная

R 0,5-,07 заметная

R 0,7-0,9 высокая

R 0,9 до 0,99 весьма высокая связь между х и у

Коэффициент корреляции -1

Часто для практических целей рассчитывают коэффициент эластичности, бета-коэффициент:

Эластичностью функции у=f(x) называется предел отношения относительных переменных у и х

Эластичность показывает на сколько %-в изменится у при изменении х на 1 %.

Для парной линейной регрессии коэффициент эластичности вычисляется по формуле:

Он показывает на сколько %-в изменится у в среднем при изменении х в среднем на 1 %.

Бетта-коэффициент равен:

– среднее квадрат отклонение x

– Среднее квадрат отклонение у

Бетта-коэффициент показывает на какую величину от своего среднего квадратического отклонения изменится у при изменении х на величину своего среднего квадратического отклонения.

Анализ дисперсии

В анализе дисперсии особое место занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменой у от у среднего на две части: на сумму объясненную регрессией и сумму, не объясненную регрессией.

Общая сумма квадратов отклонений равна сумме квадратов отклонений объясненной регрессией плюс остаточной сумме квадратов отклонений.

Эти суммы связаны с числом степеней свободы df – это число свободы независимого варьирования признаков.

Так общая сумма квадратов отклонений имеет общее число степеней свободы (n – 1).

Сумма квадратов отклонений объясненная регрессией имеет степень свободы 1, так как переменная зависит от одной величины – коэффициента регрессии b.

Между числом степеней свободы существует равенство, из которого:

N – 1 = 1 + n – 2

Разделим каждую сумму на соответствующее число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений или дисперсию:

D общ = D факт + D ост

Оценить общее качество уравнения регрессии означает, установить соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными экспериментальным данным и достаточно ли включенных в модель переменных, объясняющих у.

Оценить общие качества модели = оценить надежность модели = оценить достоверность уравнения регрессии.

Оценка общего качества модели регрессии осуществляется на основе дисперсионного анализа. Для оценки качества модели рассчитывают коэффициент детерминации:

В числителе выборочная оценка остаточной дисперсии, в знаменателе выборочная оценка общей дисперсии.

Коэффициент детерминации характеризует долю вариации зависимой переменной, объясненной с помощью уравнения регрессии.

Так, если R квадрат равен 0,97 это значит что на 97% изменений у обусловлено изменением х.

Чем ближе R квадрат к единице, тем сильнее статистически значимая линейная связь между х и у.

Для получения не смещенных оценок дисперсии(коэффициента детерминации) и числитель, и знаменатель в формуле делят на соответствующее число степеней свободы:

Для определения статистической значимости коэффициента детерминации R квадрат проверяется нулевая гипотеза для F-статистики, рассчитываемой по формуле:

Для парной линейной:

F-расчетная сравнивается со значением статистики в таблице. F-табличная рассматривается с числом степеней свободы m, n-m-1, при уровне значимости альфа.

Если F расч> F табл то нулевая гипотеза отвергается, принимается гипотеза о статистической значимости коэффициента детерминации R квадрат.

F-критерий Фишера = факторная дисперсия / на остаточную дисперсию:

Лекция №5

Проверка свойств данных, выполнение которых предполагалось при оценивании уравнения регрессии

1. Автокорреляция в остатках

2. Статистика Дарбина-Уотсона

3. Примеры

При оценивании параметров модели регрессии предполагается, что отклонении

1. В случае, если взаимосвязь между х и у не линейна.

2. Связь между переменными х и у линейна, но на исследуемый показатель воздействует фактор, не включенный в модель. Величина такого фактора может менять свою динамику за рассматриваемый период. Особенно это характерно для лаговых переменных.

Обе причины свидетельствуют о том, что полученное уравнение регрессии можно улучшить, оценив нелинейную зависимость или добавив в исходную модель дополнительный фактор.

Четвертая предпосылка метода наименьших квадратов говорит о том, что отклонения являются независимыми между собой, однако при исследовании и анализе исходных данных на практике встречаются ситуации, когда эти отклонения содержат тенденцию или циклические колебания.

ОТЧЕТ

Задание: рассмотреть процедуру регрессионного анализа на основе данных (цена продажи и жилая площадь) о 23 объектах недвижимости.

Режим работы "Регрессия" служит для расчета параметров уравнения линейной регрессии и проверки его адекватности исследуемому процессу.

Для решения задачи регрессионного анализа в MS Excel выбираем в меню Сервис команду Анализ данных и инструмент анализа "Регрессия ".

В появившемся диалоговом окне задаем следующие параметры:

1. Входной интервал Y - это диапазон данных по результативному признаку. Он должен состоять из одного столбца.

2. Входной интервал X - это диапазон ячеек, содержащих значения факторов (независимых переменных). Число входных диапазонов (столбцов) должно быть не больше 16.

3. Флажок Метки , устанавливается втом случае, если в первой строке диапазона стоит заголовок.

4. Флажок Уровень надежности активизируется, если в поле, находящееся рядом с ним необходимо ввести уровень надежности, отличный от установленного по умолчанию. Используется для проверки значимости коэффициента детерминации R 2 и коэффициентов регрессии.

5. Константа ноль. Данный флажок необходимо установить, если линия регрессии должна пройти через начало координат (а 0 =0).

6. Выходной интервал/ Новый рабочий лист/ Новая рабочая книга - указать адрес верхней левой ячейки выходного диапазона.

7. Флажки в группе Остатки устанавливаются, если необходимо включить в выходной диапазон соответствующие столбцы или графики.

8. Флажок График нормальной вероятности необходимо сделать активным, если требуется вывести на лист точечный график зависимости наблюдаемых значений Y от автоматически формируемых интервалов персентилей.

После нажатия кнопки ОК в выходном диапазоне получаем отчет.

С помощью набора средств анализа данных выполним регрессионный анализ исходных данных.

Инструмент анализа "Регрессия" применяется для подбора параметров уравнения регрессии с помощью метода наименьших квадратов. Регрессия используется для анализа воздействия на отдельную зависимую переменную значений одной или нескольких независимых переменных.

ТАБЛИЦА РЕГРЕССИОННАЯ СТАТИСТИКА

Величина множественный R - это корень из коэффициента детерминации (R-квадрат). Также его называют индексом корреляции или множественным коэффициентом корреляции. Выражает степень зависимости независимых переменных (X1, X2) и зависимой переменной (Y) и равен квадратному корню из коэффициента детерминации, эта величина принимает значения в интервале от нуля до единицы. В нашем случае он равен 0,7, что говорит о существенной связи между переменными.

Величина R-квадрат (коэффициент детерминации) , называемая также мерой определенности, характеризует качество полученной регрессионной прямой. Это качество выражается степенью соответствия между исходными данными и регрессионной моделью (расчетными данными). Мера определенности всегда находится в пределах интервала .

В нашем случае величина R-квадрат равна 0,48 , т.е. почти 50%, что говорит о слабой подгонке регрессионной прямой к исходным данным.Т.к. найденная величина R-квадрат = 48%<75%, то, следовательно, также можно сделать вывод о невозможности прогнозирования с помощью найденной регрессионной зависимости. Таким образом, модель объясняет всего 48% вариации цены, что говорит о недостаточности выбранных факторов, либо о недостаточном объеме выборки.

Нормированный R-квадрат - это тот же коэффициент детерминации, но скорректированный на величину выборки.

Норм.R-квадрат=1-(1-R-квадрат)*((n-1)/(n-k)),

регрессионный анализ линейный уравнение

где n - число наблюдений; k - число параметров. Нормированный R-квадрат предпочтительнее использовать в случае добавления новых регрессоров (факторов), т.к. при их увеличении будет также увеличиваться значение R-квадрат, однако это не будет свидетельствовать об улучшении модели. Так как в нашем случае полученная величина равна 0,43 (что отличается от R-квадрат всего на 0,05), то можно говорить о высоком доверии коэффициенту R-квадрат.

Стандартная ошибка показывает качество аппроксимации (приближения) результатов наблюдений. В нашем случае ошибка равна 5,1. Рассчитаем в процентах: 5,1/(57,4-40,1)=0,294 ? 29% (Модель считается лучше, когда стандартная ошибка составляет <30%)

Наблюдения - указывается число наблюдаемых значений (23).

ТАБЛИЦА ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Для получения уравнения регрессии определяется -статистика - характеристика точности уравнения регрессии, представляющая собой отношение той части дисперсии зависимой переменной которая объяснена уравнением регрессии к необъясненной (остаточной) части дисперсии.

В столбце df - приводится число степеней свободы k.

Для регрессии это число регрессоров (факторов) - X1 (площадь) и X2 (оценка), т.е. k=2.

Для остатка это величина, равная n-(m+1), т.е. число исходных точек (23) минус число коэффициентов (2) и минус свободный член (1).

В столбце SS - суммы квадратов отклонений от среднего значения результирующего признака. В нем представлены:

Регрессионная сумма квадратов отклонений от среднего значения результирующего признака теоретических значений, рассчитанных по регрессионному уравнению.

Остаточная сумма отклонений исходных значений от теоретических значений.

Общая сумма квадратов отклонений исходных значений от результирующего признака.

Чем больше регрессионная сумма квадратов отклонений (или чем меньше остаточная сумма), тем лучше регрессионное уравнение аппроксимирует облако исходных точек. В нашем случае остаточная сумма составляет около 50%. Следовательно, уравнение регрессии очень слабо аппроксимирует облако исходных точек.

В столбце MS - несмещенные выборочные дисперсии, регрессионная и остаточная.

В столбце F вычислено значение критериальной статистики для проверки значимости уравнения регрессии.

Для осуществления статистической проверки значимости уравнения регрессии формулируется нулевая гипотеза об отсутствии связи между переменными (все коэффициенты при переменных равны нулю) и выбирается уровень значимости.

Уровень значимости - это допустимая вероятность совершить ошибку первого рода - отвергнуть в результате проверки верную нулевую гипотезу. В рассматриваемом случае совершить ошибку первого рода означает признать по выборке наличие связи между переменными в генеральной совокупности, когда на самом деле ее там нет. Обычно уровень значимости принимается равным 5%. Сравнивая полученное значение = 9,4 с табличным значением = 3,5 (число степеней свободы 2 и 20 соответственно) можно говорить о том, что уравнение регрессии значимо (F>Fкр).

В столбце значимость F вычисляется вероятность полученного значения критериальной статистике. Так как в нашем случае это значение = 0,00123, что меньше 0,05 то можно говорить о том, что уравнение регрессии (зависимость) значимо с вероятностью 95%.

Два выше описанных столба показывают надежность модели в целом.

Следующая таблица содержит коэффициенты для регрессоров и их оценки.

Строка Y-пересечение не связана ни с каким регрессором, это свободный коэффициент.

В столбце коэффициенты записаны значения коэффициентов уравнения регрессии. Таким образом, получилось уравнение:

Y=25,6+0,009X1+0,346X2

Регрессионное уравнение должно проходить через центр облака исходных точек: 13,02?M(b)?38,26

Далее сравниваем попарно значения столбцов Коэффициенты и Стандартная ошибка. Видно, что в нашем случае, все абсолютные значения коэффициентов превосходят значения стандартных ошибок. Это может свидетельствовать о значимости регрессоров, однако, это грубый анализ. Столбец t-статистика содержит более точную оценку значимости коэффициентов.

В столбце t-статистика содержатся значения t-критерия, рассчитанные по формуле:

t=(Коэффициент)/(Стандартная ошибка)

Этот критерий имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы

n-(k+1)=23-(2+1)=20

По таблице Стьюдента находим значение tтабл=2,086. Сравнивая

t с tтабл получаем, что коэффициент регрессора X2 незначим.

Столбец p-значение представляет вероятность того, что критическое значение статистики используемого критерия (статистики Стьюдента) превысит значение, вычисленное по выборке. В данном случае сравниваем p-значения с выбранным уровнем значимости (0.05). Видно, что незначимым можно считать только коэффициент регрессора X2=0.08>0,05

В столбцах нижние 95% и верхние 95% приводятся границы доверительных интервалов с надежностью 95%. Для каждого коэффициента свои границы: Коэффициентtтабл*Стандартная ошибка

Доверительные интервалы строятся только для статистически значимых величин.