Линейное программирование графический метод если х отрицательный. Графические методы

Задача. Решить графически задачу линейного программирования, определив экстремальное значение целевой функции:

при ограничениях

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Построим уравнение 3x 1 +x 2 = 9 по двум точкам .
Для нахождения первой точки приравниваем x 1 = 0. Находим x 2 = 9. Для нахождения второй точки приравниваем x 2 = 0. Находим x 1 = 3. Соединяем точку (0;9) с (3;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 3 . 0 + 1 . 0 - 9 ≤ 0, т.е. 3x 1 +x 2 - 9≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
Построим уравнение x 1 +2x 2 = 8 по двум точкам .
Для нахождения первой точки приравниваем x 1 = 0. Находим x 2 = 4. Для нахождения второй точки приравниваем x 2 = 0. Находим x 1 = 8. Соединяем точку (0;4) с (8;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 . 0 + 2 . 0 - 8 ≤ 0, т.е. x 1 +2x 2 - 8≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
Построим уравнение x 1 +x 2 = 8 по двум точкам .
Для нахождения первой точки приравниваем x 1 = 0. Находим x 2 = 8. Для нахождения второй точки приравниваем x 2 = 0. Находим x 1 = 8. Соединяем точку (0;8) с (8;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 . 0 + 1 . 0 - 8 ≤ 0, т.е. x 1 +x 2 - 8≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Проверить правильность построения графиков функций можно с помощью калькулятора

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 4x 1 +6x 2 → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 4x 1 +6x 2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление минимизации F(X). Начало вектора - точка (0; 0), конец - точка (4; 6). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = 4x 1 +6x 2 пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (1) и (2) , то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
3x 1 +x 2 =9
x 1 +2x 2 =8

Решив систему уравнений, получим: x 1 = 2, x 2 = 3
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 4*2 + 6*3 = 26

Рассмотрим сначала простейший случай, когда в ЗЛП включены ровно две переменные:

Каждое из неравенств (a)-(b) системы ограничений задачи (3.8) геометрически определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми , Х 1 =0 и Х 2 =0. Каждая из граничных прямых делит плоскость х 1 Ох 2 на две полуплоскости. Все решения исходного неравенства лежат в одной из образованных полуплоскостей (все точки полуплоскости) и, следовательно, при подстановке координат любой ее точки в соответствующее неравенство обращает его в верное тождество. С учетом этого и определяется та полуплоскость, в которой лежат решения неравенства, т.е. путем выбора любой точки из какой-либо полуплоскости и подстановки ее координат в соответствующее неравенство. Если неравенство выполняется для данной точки, то оно выполняется и для любой другой точки из этой же полуплоскости. В противном случае решения неравенства лежат в другой полуплоскости.

В том случае, если система неравенств (a)-(b) совместна, то область её решений есть множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям. Так как множество точек пересечения данных полуплоскостей выпуклое, то область допустимых решений задачи (3.8) является выпуклое множество, которое называется многоугольником решений (введённый ранее термин “многогранник решений” обычно употребляется, если n 3). Стороны этого многоугольника лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на знаки точных равенств.

Таким образом, исходная ЗЛП состоит в нахождении такой точки многоугольника решений, в которой целевая функция F принимает максимальное (минимальное) значение.

Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не пуст и на нём целевая функция ограничена сверху. При указанных условиях в одной из вершин многоугольника решений целевая функция принимает максимальное значение. Для определения данной вершины строят линию уровня L: c 1 x 1 +c 2 x 2 =h (где h – некоторая постоянная), перпендикулярную вектору-градиенту и проходящую через многоугольник решений, и передвигают её параллельно вдоль вектора-градиента до тех пор, пока она не пройдёт через последнюю её общую точку пересечения с многоугольником решений (при построении вектора-градиента откладывают точку (с 1 ; с 2) в плоскости х 1 Ох 2 и проводят к ней из начала координат направленный отрезок). Координаты указанной точки и определяют оптимальный план данной задачи.

Суммируя все выше изложенное, приведем алгоритм графического метода решения ЗЛП.

Алгоритм графического метода решения ЗЛП

1. Построить многоугольник решений, задаваемый системой ограничений исходной ЗЛП.

2. Если построенный многоугольник решений – пустое множество, то исходная ЗЛП решений не имеет. В противном случае построить вектор-градиент и провести произвольную линию уровня L, перемещая которую при решении задачи на максимум в направлении вектора (или в обратном направлении для задачи на минимум) определить крайнюю точку многоугольника решений, где и достигается максимум (минимум) целевой функции задачи.

3. Вычислить координаты найденной оптимальной точки , решив систему уравнений двух граничных прямых, пересекающихся в ней.

4. Подстановкой найденного оптимального решения в целевую функцию задачи вычислить оптимальное ее значение, т.е.: .

При графическом построении множества допустимых решений ЗЛП (многоугольника решений) возможны следующие ситуации.

Решение задачи линейного программирования (ЗЛП) графическим методом

Общая постановка злп

Найти значения n переменных x 1 , x 2 , …,x n , доставляющих экстремум (минимум или максимум) линейной функции Z=C 1 x 1 ,+ C 2 x 2+…+ C n x n

и одновременно удовлетворяющих m ограничениям вида

a 1,1 x 1 +a 1,2 x 2 +…+a 1,n x n £ =≥b 1 ,

a 2,1 x 1 +a 2,2 x 2 +…+a 2,n x n £ = ≥b 2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,

a m,1 x 1 +a m,2 x 2 +…+a m,n x n £ = ≥b m ,

при заданных a i,j , b i, C j (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n). Знак отношения может принимать любое из трех приведенных значений.

Пример задачи линейного программирования

Рассмотрим следующую задачу. Менеджер предприятия, изготавливающего два вида красок, описал исследователю операций ситуацию, сложившуюся на производстве и рынке сбыта красок. Оказалось, что фабрика изготавливает два вида красок: для внутренних и внешних работ. Обе краски поступают в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта – А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов 6 и 8 тонн соответственно. Опыт показал, что суточный спрос на внешнюю краску никогда не превышает спрос на внутреннюю более чем на 1 тонну. Кроме того, установлено, что спрос на внешнюю краску никогда не превышает 2 тонны в сутки. Оптовые цены одной тонны красок сложились следующим образом: 3 тысячи рублей на внешнюю краску и 2 тысячи рублей – на внутреннюю. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации был максимальным?

Чтобы решить поставленную перед исследователем задачу, сначала необходимо разработать математическую модель описанной ситуации.

При построении математической модели специалист по исследованию операций ставит перед собой три вопроса.

• Для каких величин должна быть построена модель? Иначе говоря, нужно идентифицировать переменные задачи.
• Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, характерные для моделируемой системы?
• В чем состоит цель, для достижения которой из всех возможных (допустимых) значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи?

Введем переменные:

x 1 – суточный объем производства внешней краски (в тоннах),

x 2 – суточный объем производства внутренней краски (в тоннах).

Учитывая оптовые цены на тонну каждого вида краски, суточный доход от продажи произведенной продукции задается линейной целевой функцией Z = 3x 1 + 2x 2 .

Целью производства является получение максимальной прибыли, значит, необходимо найти значения x 1 и x 2 , которые максимизируют целевую функцию Z.

Поскольку производитель красок не может распорядиться значениями переменных произвольным образом, постольку необходимо выделить множество возможных значений этих переменных, которое определяется конкретными условиями производства и сбыта. Это множество называется областью допустимых значений.

Первый тип ограничений определяется запасами продуктов А и В, из которых производятся краски. Из технологии производства известно, что на производство тонны внешней краски идут две части продукта А, а на тонну внутренней – одна часть. Для продукта В соотношение обратное. Эти технологические условия описываются неравенствами

2x 1 + x 2 £ 6 (на складе 6 тонн продукта А),

x 1 + 2x 2 £ 8 (на складе 8 тонн продукта В).

Последние два ограничения означают очевидное обстоятельство: нельзя использовать для производства красок больше продуктов А и В, чем их имеется фактически на складе.

Ситуация с реализацией красок на рынке приводит к следующим ограничениям: x 1 – x 2 £ 1 (внешней краски реализуется не более, чем на одну тонну больше внутренней), x 1 £ 2 (внешней краски продается не более двух тонн в день).

Суммируя все сказанное, можно математическую модель, описывающую сложившуюся производственную ситуацию, задать в следующей форме:

найти ® max{ Z=2× x 1 + 3× x 2 } при следующих ограничениях на значения переменных x 1 и x 2

2 × x 1 + x 2 £ 6 ограничение (1),

X 1 + 2 × x 2 £ 8 ограничение (2),

X 1 - x 2 £ 1 ограничение (3),

X 1 £ 2 ограничение (4)

и требование неотрицательности переменных x 1 ³ 0 (5), x 2 ³ 0 (6).

Полученная математическая модель представляет собой задачу линейного программирования.

Графический метод решения злп

Графический метод решения злп может быть реализован только в двумерном случае.

Математическая модель, полученная для сформулированной типовой задачи, требует исследования, так как заранее не известно, имеет ли она (как математическая задача) решение. Исследование проведем с использованием графических построений. Одновременно с таким исследованием найдем (если оно есть) и решение.

1 этап. Построение области допустимых решений

Цель – построить область, каждая точка которой удовлетворяет всем ограничениям.

Каждое из шести ограничений геометрически задает полуплоскость. Для того, чтобы ее построить, нужно:

• · заменить в ограничении знак неравенства на равенство (получим уравнение прямой);

• · построить прямую по двум точкам;

• · определить, какую полуплоскость задает знак неравенства. Для этого подставить в неравенство какую-нибудь точку (например, начало координат). Если она удовлетворяет неравенству – закрашиваем полуплоскость, ее содержащую.

Такие действия выполняем для всех ограничений. Каждую из прямых обозначим номерами, принятыми при нумерации ограничений (см. рис).

Областью допустимых решений (удовлетворяющей всем ограничениям) является множество точек первого квадранта координатной плоскости (x 1 , x 2), представляющее собой пересечение всех полуплоскостей, определяемых неравенствами ограничений.

Множество точек, удовлетворяющих всем шести ограничениям задачи – многоугольник AFEDCB.

2 этап Построение линий уровня целевой функции и определение точки максимума

Цель - найти в построенном многоугольнике A FEDCB точку, в которой функция цели Z=2x 1 + 3x 2 принимает максимальное значение.

Проведем прямую 2x 1 + 3x 2 = Сonst (линию уровня) так, чтобы она пересекала многоугольник AFEDCB (например, Const=10). Эта линия уровня на рисунке изображена пунктирной линией.

Если рассматривать значения линейной целевой функции Z на множестве точек (x 1 ,x 2), принадлежащих отрезку пунктирной прямой, расположенному внутри шестиугольника, то все они равны одному и тому же значению (Const=10).

Определим направление возрастания функции. Для этого построим линию уровня с бОльшим значением. Это будет прямая, параллельная с построенной, но расположенная правее. Значит, в заданном направлении значение целевой функции возрастает, и в наших интересах сдвинуть ее как можно дальше в этом направлении.

Сдвиг можно продолжать до тех пор, пока перемещаемая прямая пересекает многоугольник допустимых решений. Последнее положение прямой, когда она имеет одну общую точку с многоугольником AFEDCB (точка С), соответствует максимальному значению целевой функции Z и достигается в точке С с координатами x 1 = 4/3 (» 1.333), x 2 =10/3 (» 3.333). При этом Z = 38/3 (» 12.667).

Поставленная задача полностью решена. Из проведенных геометрических рассуждений видно, что решение единственное. Сделаем некоторые обобщения, вытекающие из геометрической интерпретации задачи.

Первое . Область допустимых решений – выпуклый многоугольник (Почему выпуклый? Может ли область допустимых решений представлять собой пустое множество? Точку? Отрезок? Луч? Прямую? Если да, приведите пример системы ограничений ).

Второе . Максимум целевой функции достигается в вершине многоугольника допустимых решений (а может ли быть не единственное решение? Может ли решения не быть? )

Задание 1 (выполнить на занятии, показать преподавателю)

Решить графическим методом

А) F =2 x 1 +3 x 2 è max При ограничениях x 1 +3 x 2 ≤ 18 2 x 1 + x 2 ≤ 16 x 2 ≤ 5 3 x 1 ≤ 21 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0	B ) F =4 x 1 +6 x 2 è min При ограничениях 3 x 1 + x 2 ≥ 9 x 1 +2 x 2 ≥ 8 x 1 +6x 2 ≥ 12 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0
C ) F =3 x 1 +3 x 2 è max При ограничениях x 1 +x 2 ≤ 8 2x 1 -x 2 ≥ 1 x 1 -2x 2 ≤ 2 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0	D ) F =2 x 1 -3 x 2 è min При ограничениях x 1 +x 2 ≥ 4 2x 1 -x 2 ≥ 1 x 1 -2x 2 ≤ 1 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0

A) x1=6 x2=4 F=24

B) x1=2 x2=3 F=26

C) x1Î x2=8-x1 F=24

Задание 2 (выполнить на занятии, показать преподавателю)

Ответить на вопросы, выделенные курсивом.

Задание 3 (домашнее)

Написать программу.

Дан текстовый файл вида

2 3 (коэффициенты целевой функции)

4 (количество ограничений)

2 2 12 (ограничения)

1 2 8

4 0 16

0 4 12

Построить прямые так, чтобы многоугольник допустимых решений был целиком на экране (определение масштаба см. в кн. Онегова). Прямые могут быть параллельны осям!

Построить несколько линий уровня целевой функции (нажимаем клавишу – прямая перемещается, отображается значение целевой функции). Отобразить масштаб.

Если в задаче линейного программирования имеется только две переменные, то ее можно решить графическим методом.

Рассмотрим задачу линейного программирования с двумя переменными и :
(1.1) ;
(1.2)
Здесь , есть произвольные числа. Задача может быть как на нахождение максимума (max), так и на нахождение минимума (min). В системе ограничений могут присутствовать как знаки , так и знаки .

Построение области допустимых решений

Графический метод решения задачи (1) следующий.
Вначале мы проводим оси координат и и выбираем масштаб. Каждое из неравенств системы ограничений (1.2) определяет полуплоскость, ограниченную соответствующей прямой.

Так, первое неравенство
(1.2.1)
определяет полуплоскость, ограниченную прямой . С одной стороны от этой прямой , а с другой стороны . На самой прямой . Чтобы узнать, с какой стороны выполняется неравенство (1.2.1), мы выбираем произвольную точку, не лежащую на прямой. Далее подставляем координаты этой точки в (1.2.1). Если неравенство выполняется, то полуплоскость содержит выбранную точку. Если неравенство не выполняется, то полуплоскость расположена с другой стороны (не содержит выбранную точку). Заштриховываем полуплоскость, для которой выполняется неравенство (1.2.1).

Тоже самое выполняем для остальных неравенств системы (1.2). Так мы получим заштрихованных полуплоскостей. Точки области допустимых решений удовлетворяют всем неравенствам (1.2). Поэтому, графически, область допустимых решений (ОДР) является пересечением всех построенных полуплоскостей. Заштриховываем ОДР. Она представляет собой выпуклый многоугольник, грани которого принадлежат построенным прямым. Также ОДР может быть неограниченной выпуклой фигурой, отрезком, лучом или прямой.

Может возникнуть и такой случай, что полуплоскости не содержат общих точек. Тогда областью допустимых решений является пустое множество. Такая задача решений не имеет.

Можно упростить метод. Можно не заштриховывать каждую полуплоскость, а вначале построить все прямые
(2)
Далее выбрать произвольную точку, не принадлежащую ни одной из этих прямых. Подставить координаты этой точки в систему неравенств (1.2). Если все неравенства выполняются, то область допустимых решений ограничена построенными прямыми и включает в себя выбранную точку. Заштриховываем область допустимых решений по границам прямых так, чтобы оно включало в себя выбранную точку.

Если хотя бы одно неравенство не выполняется, то выбираем другую точку. И так далее, пока не будет найдены одна точка, координаты которой удовлетворяют системе (1.2).

Нахождение экстремума целевой функции

Итак, мы имеем заштрихованную область допустимых решений (ОДР). Она ограничена ломаной, состоящей из отрезков и лучей, принадлежащих построенным прямым (2). ОДР всегда является выпуклым множеством. Оно может быть как ограниченным множеством, так и не ограниченным вдоль некоторых направлений.

Теперь мы можем искать экстремум целевой функции
(1.1) .

Для этого выбираем любое число и строим прямую
(3) .
Для удобства дальнейшего изложения считаем, что эта прямая проходит через ОДР. На этой прямой целевая функция постоянна и равна . такая прямая называется линией уровня функции . Эта прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. На одной полуплоскости
.
На другой полуплоскости
.
То есть с одной стороны от прямой (3) целевая функция возрастает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3), тем больше будет значение . С другой стороны от прямой (3) целевая функция убывает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3) в другую сторону, тем меньше будет значение . Если мы проведем прямую, параллельную прямой (3), то новая прямая также будет линией уровня целевой функции, но с другим значением .

Таким образом, чтобы найти максимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3), максимально удаленную от нее в сторону возрастания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР. Чтобы найти минимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3) и максимально удаленную от нее в сторону убывания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР.

Если ОДР неограниченна, то может возникнуть случай, когда такую прямую провести нельзя. То есть как бы мы ни удаляли прямую от линии уровня (3) в сторону возрастания (убывания) , то прямая всегда будет проходить через ОДР. В этом случае может быть сколь угодно большим (малым). Поэтому максимального (минимального) значения нет. Задача решений не имеет.

Рассмотрим случай, когда крайняя прямая, параллельная произвольной прямой вида (3), проходит через одну вершину многоугольника ОДР. Из графика определяем координаты этой вершины. Тогда максимальное (минимальное) значение целевой функции определяется по формуле:
.
Решением задачи является
.

Также может встретиться случай, когда прямая параллельна одной из граней ОДР. Тогда прямая проходит через две вершины многоугольника ОДР. Определяем координаты и этих вершин. Для определения максимального (минимального) значения целевой функции, можно использовать координаты любой из этих вершин:
.
Задача имеет бесконечно много решений. Решением является любая точка, расположенная на отрезке между точками и , включая сами точки и .

Пример решения задачи линейного программирования графическим методом

Условие задачи

Фирма выпускает платья двух моделей А и В. При этом используется ткань трех видов. На изготовление одного платья модели А требуется 2 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. На изготовление одного платья модели В требуется 3 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. Запасы ткани первого вида составляют 21 м, второго вида - 10 м, третьего вида - 16 м. Выпуск одного изделия типа А приносит доход 400 ден. ед., одного изделия типа В - 300 ден. ед.

Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший доход. Задачу решить графическим методом.

Решение

Пусть переменные и означают количество произведенных платьев моделей А и В, соответственно. Тогда количество израсходованной ткани первого вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани второго вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани третьего вида составит:
(м)
Поскольку произведенное количество платьев не может быть отрицательным, то
и .
Доход от произведенных платьев составит:
(ден. ед.)

Тогда экономико-математическая модель задачи имеет вид:

Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (10,5; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 10) и (10; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (8; 0).

Заштриховываем область, чтобы точка (2; 2) попала в заштрихованную часть. Получаем четырехугольник OABC.

(П1.1) .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 4) и (3; 0).

Далее замечаем, что поскольку коэффициенты при и целевой функции положительны (400 и 300), то она возрастает при увеличении и . Проводим прямую, параллельную прямой (П1.1), максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку четырехугольника OABC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Решение задачи: ;

Ответ

.
То есть, для получения наибольшего дохода, необходимо изготовить 8 платьев модели А. Доход при этом составит 3200 ден. ед.

Пример 2

Условие задачи

Решить задачу линейного программирования графическим методом.

Решение

Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 6) и (6; 0).

Строим прямую .
Отсюда .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (7; 2).

Строим прямую .
Строим прямую (ось абсцисс).

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область по границам построенных прямых, чтобы точка (4; 1) попала в заштрихованную часть. Получаем треугольник ABC.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
.
При .
При .
Проводим прямую линию уровня через точки (0; 6) и (4; 0).
Поскольку целевая функция увеличивается при увеличении и , то проводим прямую, параллельную линии уровня и максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку треугольника АВC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Решение задачи: ;

Ответ

Пример отсутствия решения

Условие задачи

Решить графически задачу линейного программирования. Найти максимальное и минимальное значение целевой функции.

Решение

Решаем задачу графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (2,667; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 3) и (6; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (6; 3).

Прямые и являются осями координат.

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми и осями координат. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область, чтобы точка (3; 3) попала в заштрихованную часть. Получаем неограниченную область, ограниченную ломаной ABCDE.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
(П3.1) .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (7; 0).
Поскольку коэффициенты при и положительны, то возрастает при увеличении и .

Чтобы найти максимум, нужно провести параллельную прямую, максимально удаленную в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Однако, поскольку область неограниченна со стороны больших значений и , то такую прямую провести нельзя. Какую бы прямую мы не провели, всегда найдутся точки области, более удаленные в сторону увеличения и . Поэтому максимума не существует. можно сделать сколь угодно большой.

Ищем минимум. Проводим прямую, параллельную прямой (П3.1) и максимально удаленную от нее в сторону убывания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.
Минимальное значение целевой функции:

Ответ

Максимального значения не существует.
Минимальное значение
.

На этом уроке будем знакомиться с графическим методом решения задач линейного программирования , то есть, таких задач, в которых требуется найти такое решения системы линейных уравнений и (или) неравенств (системы ограничений), при котором функция цели - линейная функция - принимает оптимальное значение.

Ввиду того, что наглядность графического решения достигается лишь на плоскости, мы можем познакомиться с графическим представлением задачи только в двумерном пространстве. Это представление пригодно для системы ограничений-неравенств с двумя переменными или для систем уравнений, в которых число переменных на 2 превышает число уравнений, то есть число свободных переменных равно двум.

Поэтому графический метод имеет такие узкие рамки применения, что о нём как об особом методе решения задач линейного программирования говорить нельзя.

Однако для выработки наглядных представлений о решениях задач линейного программирования графический метод представляет определённый интерес. Кроме того, он позволяет геометрически подтвердить справедливость теорем линейного программирования .

Теоретические основы графического метода

Итак, задача линейного программирования. Требуется найти неотрицательные значения переменных и , удовлетворяющих системе неравенств

при которых линейная форма принимает оптимальное значение.

Пример 3.

Пример 4. Решить графическим методом задачу линейного программирования, в которой требуется найти минимум функции при ограничениях

Продолжаем решать задачи графическим методом вместе

До сих пор полученные выводы были основаны на том, что множество решений задачи линейного программирования сконфигурировано так, что оптимальное решение конечно и единственно. Теперь рассмотрим примеры, когда это условие нарушается. В этих примерах многоугольник решений строится так, как показано в предыдущих примерах, остановимся же на признаках, которые отличают эти исключительные примеры.

Пример 5. Решить графическим методом задачу линейного программирования, в которой требуется найти максимум функции при ограничениях

Решение. На рисунке изображены: неограниченная многогранная область решений данной системы ограничений, исходная линия уровня (чёрного цвета), вектор (бордового цвета), указывающий направление движения исходной линии уровня для нахождения максимума целевой функции.

Легко заметить, что функция F может неограниченно возрастать при заданной системе ограничений, поэтому можно условно записать, что .

Пример 6. Решить графическим методом задачу линейного программирования, в которой требуется найти максимум функции при ограничениях