Решение задачи коммивояжера с помощью метода ветвей и границ. Метод ветвей и границ целочисленного программирования

Рассмотрим следующую задачу целочисленного линейного программирования. Максимизировать при ограничениях

На рис.1 пространство допустимых решений задачи целочисленного линейного программирования представлено точками. Соответствующая начальная задача линейного программирования (обозначим ее ЛП0) получается путем отбрасывания условия целочисленности. Ее оптимальным решением будет =3.75, =1.25, z=23.75.

Рис.1.

Так как оптимальное решение задачи ЛП0 не удовлетворяет условия целочисленности, метод ветвей и границ изменяет пространство решений задачи линейного программирования так, что в конечном счете получается оптимальное решение задачи целочисленного линейного программирования. Для этого сначала выбирается одна из целочисленных переменных, значение которой в оптимальном решении задачи ЛП0 не является целочисленным. Например, выбирая (=3.75), замечаем, что область 3 ? ?4 пространства допустимых решений задачи ЛП0 не содержит целочисленных значений переменной и, следовательно, может быть исключена из рассмотрения, как бесперспективная. Это эквивалентно замене исходной задачи ЛП0 двумя новыми задачами линейного программирования ЛП1 и ЛП2, которые определяются следующим образом:

Пространство допустимых решений ЛП1 = пространство допустимых решений ЛП0 + (), пространство допустимых решений ЛП2 = пространство допустимых решений ЛП0 + ().

На рис.2 изображены пространства допустимы решений задач ЛП1 И ЛП2 . Оба пространства содержат все допустимые решения исходной задачи ЦЛП. Это обозначает, что задачи ЛП1 и ЛП2 «не потеряют» решения начальной задачи ЛП0.

Рис.2.

Если продолжим разумно исключать из рассмотрения области, не содержащие целочисленных решений (такие, как), путем введения надлежащих ограничений, то в конечном счете получим задачу линейного программирования, оптимальное решение которой удовлетворяет требованиям целочисленности. Другими словами, будем решать задачу ЦЛП путем решения последовательности непрерывных задач линейного программирования.

Новые ограничения и взаимоисключаемы, так что задачи ЛП1 и ЛП2 необходимо рассматривать как независимые задачи линейного программирования, что и показано на Рис.3. Дихотомизация задач ЛП - основа концепции ветвления в методе ветвей и границ. В этом случае называется переменной ветвления.

Рис.3.

Оптимальное решение задачи ЦЛП находятся в пространстве допустимых решений либо в ЛП1, либо в ЛП2. Следовательно, обе подзадачи должны быть решены. Выбираем сначала задачу ЛП1 (выбор произволен), имеющую дополнительное ограничение?3.

Максимизировать при ограничениях

Оптимальным решением задачи ЛП1 является, и. Оптимальное решение задачи ЛП1 удовлетворяет требованию целочисленности переменных и. В этом случае говорят что задача прозондирована. Это означает, что задача ЛП1 не должна больше зондироваться, так как она не может содержать лучшего решения задачи ЦЛП.

Мы не можем в этой ситуации оценить качество целочисленного решения, полученного из рассмотрения задачи ЛП1, ибо решение задачи ЛП2 может привести к лучшему целочисленному решению (с большим решением в целевой функции z). Пока мы можем лишь сказать, что значение является нижней границей оптимального (максимального) значения целевой функции исходной задачи ЦЛП. Это значит, что любая нерассмотренная подзадача, которая не может привести к целочисленному решению с большим значением целевой функции, должна быть исключена, как бесперспективная. Если же нерассмотренная подзадача может привести к лучшему целочисленному решению, то нижняя граница должна быть надлежащим образом изменена.

При значении нижней границы исследуем ЛП2. Так как в задачи ЛП0 оптимальное значение целевой функции равно 23.75 и вес ее коэффициенты являются целыми числами, то невозможно получить целочисленное решение задачи ЛП2, которое будет лучше имеющегося. В результате мы отбрасываем подзадачу ЛП2 и считаем ее прозондированной.

Реализация метода ветвей и границ завершена, так как обе подзадачи ЛП1 и ЛП2 прозондированы. Следовательно, мы заключаем, что оптимальным решением задачи ЦЛП является решение, соответствующей нижней границе, а именно, и.

Если бы мы выбрали в качестве ветвлении переменную то ветвления и скорость нахождения оптимального решения были бы другими Рис.4.

Рис.4. Дерево ветвлений решений

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................. 3

1. ..…………….4

2. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ ………………………………………..6

2.1 Алгоритм метода ветвей и грани ц…………………………………....10

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………….14

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………… ………….15

ВВЕДЕНИЕ

Впервые метод ветвей и границ был предложен Лендом и Дойгом в 1960 для решения общей задачи целочисленного линейного программирования. Интерес к этому методу и фактически его “второе рождение” связано с работой Литтла, Мурти, Суини и Кэрела, посвященной задаче комивояжера. Начиная с этого момента, появилось большое число работ, посвященных методу ветвей и границ и различным его модификациям. Столь большой успех объясняется тем, что авторы первыми обратили внимание на широту возможностей метода, отметили важность использования специфики задачи и сами воспользовались спецификой задачи коммивояжера.

В основе метода ветвей и границ лежит идея последовательного разбиения множества допустимых решений на подмножества (стратегия “разделяй и властвуй”). На каждом шаге метода элементы разбиения подвергаются проверке для выяснения, содержит данное подмножество оптимальное решение или нет. Проверка осуществляется посредством вычисления оценки снизу для целевой функции на данном подмножестве. Если оценка снизу не меньше рекорда - наилучшего из найденных решений, то подмножество может быть отброшено. Проверяемое подмножество может быть отброшено еще и в том случае, когда в нем удается найти наилучшее решение. Если значение целевой функции на найденном решении меньше рекорда, то происходит смена рекорда. По окончанию работы алгоритма рекорд является результатом его работы.

Если удается отбросить все элементы разбиения, то рекорд - оптимальное решение задачи. В противном случае, из не отброшенных подмножеств выбирается наиболее перспективное (например, с наименьшим значением нижней оценки), и оно подвергается разбиению. Новые подмножества вновь подвергаются проверке и т. д.

1. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Целочисленным (иногда его называют также дискретным) программированием называется раздел математического программирования, изучающий экстремальные задачи, в которых на искомые переменные накладывается условие целочисленности, а область допустимых решений конечна.

Огромное количество экономических задач носит дискретный, чаще всего целочисленный характер, что связано, как правило с физической неделимостью многих элементов расчета: например, нельзя построить два с половиной завода, купить полтора автомобиля и т. д. В ряде случаев такие задачи решаются обычными методами, например, симплексным методом, с последующим округлением до целых чисел.

Однако такой подход оправдан, когда отдельная единица составляет очень малую часть всего объема (например, товарных запасов); в противном случае он может внести значительные искажения в действительно оптимальное решение. Поэтому разработаны специальные методы решения целочисленных задач.

1. Количество целочисленных переменных уменьшать насколько возможно. Например, целочисленные переменные, значения которых должно быть не менее 20, можно рассматривать как непрерывные.

2. В отличие от общих задач ЛП, добавление новых ограничений особенно включающих целочисленные переменные, обычно уменьшают время решения задач ЦП.

3. Если нет острой необходимости в нахождении точного оптимального целочисленного решения, отличающегося от непрерывного решения, например, 3%. Тогда реализацию метода ветвей и границ для задачи максимизации можно заканчивать, если отношение разницы между верхней и нижней границ к верхней границы меньше 0,03.

Метод ветвей и границ можно применять для решения задач нелинейного программирования.

Метод ветвей и границ - один из комбинаторных методов. Его суть заключается в упорядоченном переборе вариантов и рассмотрении лишь тех из них, которые оказываются по определенным признакам перспективными, и отбрасывании бесперспективных вариантов.

Метод ветвей и границ состоит в следующем: множество допустимых решений (планов) некоторым способом разбивается на подмножества, каждое из которых этим же способом снова разбивается на подмножества. Процесс продолжается до тех пор, пока не получено оптимальное целочисленное решение исходной задачи.

2. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ

Одним из широко распространенных методов решения целочислен­ных задач является метод ветвей и границ, который может быть ис­пользован как для задач линейного программирования, так и для задач, не сводимых к задачам линейного программирования. Рассмотрим идею метода ветвей и границ на примере общей задачи дискретного про­граммирования

f(X) -> max,

Х€D,

где D - конечное множество.

Сначала найдем оценку £(D) (границу) функции f(X), X е D: f(X) ≤ £(D) для V X е D. Если для некоторого плана Х° задачи справедливо равенствоf(X0) = £(D), то Х° = X* является решением задачи. Если указанное условие не выполняется, то возмож­но разбиение (ветвление) множества D на конечное число непересека­ющихся подмножеств D1i: ỤD1i. = D, ∩D1i = Ө, и вычисление оценки £(D1i) (границ), 1≤i≤m (Рисунок 2.1)

Рисунок 2. 1

Если для некоторого плана X1i е Di1, 1 ≤ / ≤ m выполняется условие f(Xkl)= £(D1k)≥ £(D1i), 1≤i≤m то Xk1=X* является оптимальным планом (решением) задачи (7.9)-(7.10).

Если такого плана нет, то выбирается подмножество Dkl с наиболь­шей оценкой £(D1i) и разбивается на конечное число непересекающихся подмножеств D2kj: UD2kj=D1k, ∩D2kj=Ө. Для каждого подмножества находится оценка £(D2kj), 1≤j≤n (Рисунок 2.2)

Рисунок 2.2

Если при этом найдется план X2j е D2kJ, 1 ≤j ≤n, такой, что f(X2r)= £(D2kr)≥ £(D2kj), 1≤j≤n, то X2r= X* является решением задачи. Если такого плана нет, то процедуру ветвления осуществля­ют для множества D2kj с наибольшей оценкой £(D2kj) , 1≤j≤n. Способ ветвления определяется спецификой конкретной задачи.

Рассмотрим задачу, которую можно свести к задаче целочисленного линейного программирования.

Пример.

Контейнер объемом 5 м3 помещен на контейнеровоз грузо­подъемностью 12 т. Контейнер требуется заполнить грузом двух наиме­нований. Масса единицы груза mj (в тоннах), объем единицы груза Vj (в м3), стоимости Cj (в условных денежных единицах) приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Вид груза у			С j

Требуется загрузить контейнер таким образом, чтобы стоимость пе­ревозимого груза была максимальной.

Решение. Математическая модель задачи имеет вид

Z(X) = 10x1+12x2→max,

3x1+x2≤12,

x1+2x2≤5

x1≥0

x2≥0

x1, x2- целые числа

где x1, x2 - число единиц соответственно первого и второго груза.

Множество планов этой задачи обозначим через D - это множество целых точек многогранника ОАВС (Рисунок 2.3).

Рисунок 2. 3

Сначала решаем задачу без условия целочисленности, получим оценку множества D - значение функции Z(X) на оптималь­ном плане Х° = (19/5, 3/5).

Точка X не является оптимальным планом задачи. По­этому в соответствии с методом ветвей и границ требуется разбить множество D на непересекающиеся подмножества. Выберем первую нецелочисленную переменную x1=19/5=34/5 и разобьем множество D на два непересекающихся подмножества D11 и D22. Линии x1=3 (L3) и x4= (L3) являются линиями разбиения.

Рисунок 2. 4

L \

Найдем оценки £(D11) и £(D12), для чего решим задачи линейного программирования.

Z(X)=10x1+12x2→max,

3x1+x2≤12

x1+2x2≤5

x1≤3

x1≥0, x2 – целые числа

Z(X)=10x1+12x2→max,

3x1+ x2≤12

x1+2x2≤5

x1≥4

x1≥0, x2 – целые числа

Например, графическим методом:

X11eD11→X01= (3,1); £(D11)=42; X12eD12→X02= (4,0); £(D12)=40.

Результат ветвления приведен на Рисунок 2.5

Рисунок 2. 5

План X01 удовлетворяет условиям задачи, и для него выполняется условие: Z(X11)= £(D11)=42 > £(/)/) = 42 >£(D12) = 40. Следовательно, план X°1= (3, 1) является решением задачи (7.11)-(7.13), т. е. надо взять три единицы первого груза и одну единицу второго груза.

2.1 Алгоритм метода ветвей и границ

· Находим решение задачи линейного программирования без учета целочисленности.

· Составляет дополнительные ограничения на дробную компоненту плана.

· Находим решение двух задач с ограничениями на компоненту.

· Строим в случае необходимости дополнительные ограничения, согласно возможным четырем случаям получаем оптимальный целочисленный план либо устанавливаем неразрешимость задачи.

Алгоритм действия метода ветвей и границ

Первоначально находим, к примеру, симплекс-методом оптимальный план задачи без учета целочисленности переменных. Пусть им является план X0. Если среди компонент этого плана нет дробных чисел, то тем самым найдено искомое решение данной задачи и Fmax = F(X0).

Если же среди компонент плана X0 имеются дробные числа, то X0 не удовлетворяет условию целочисленности и необходимо осуществить упорядоченный переход к новым планам, пока не будет найдено решение задачи. Покажем, как это можно сделать, предварительно отметив, что F(X0) ³ F(X) для всякого последующего плана X в связи с увеличением количества ограничений.

Предполагая, что найденный оптимальный план X0 не удовлетворяет условию целочисленности переменных, тем самым считаем, что среди его компонент есть дробные числа. Пусть, например, переменная приняла в плане X0 дробное значение. Тогда в оптимальном целочисленном плане ее значение будет по крайней мере либо меньше или равно ближайшему меньшему целому числу, либо больше или равно ближайшему большему целому числу font-size:14.0pt">font-size:14.0pt">Найдем решение задач линейного программирования (5) и (6). Очевидно, здесь возможен один из следующих четырех случаев:

1. Одна из задач неразрешима, а другая имеет целочисленный оптимальный план. Тогда этот план и значение целевой функции на нем и дают решение исходной задачи.

2. Одна из задач неразрешима, а другая имеет оптимальный план, среди компонент которого есть дробные числа. Тогда рассматриваем вторую задачу и в ее оптимальном плане выбираем одну из компонент, значение которой равно дробному числу, и строим две задачи, аналогичные задачам (5) и (6).

3. Обе задачи разрешимы. Одна из задач имеет оптимальный целочисленный план, а в оптимальном плане другой задачи есть дробные числа. Тогда вычисляем значения целевой функции на этих планах и сравниваем их между собой.

3.1. Если на целочисленном оптимальном плане значение целевой функции больше или равно ее значению на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то данный целочисленный план является оптимальным для исходной задачи и он вместе со значением целевой функции на нем дает искомое решение.

3.2. Если же значение целевой функции больше на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то следует взять одно из таких чисел и для задачи, план которой рассматривается, необходимо построить две задачи, аналогичные (5) и (6).

4. Обе задачи разрешимы, и среди оптимальных планов обеих задач есть дробные числа. Тогда вычисляем значение целевой функции на данных оптимальных планах и рассматриваем ту из задач, для которой значение целевой функции является наибольшим. В оптимальном плане этой задачи выбираем одну из компонент, значение которой является дробным числом, и строим две задачи, аналогичные (5) и (6).

Общий алгоритм решения задач с помощью метода границ и ветвей, его суть

Таким образом, описанный выше итерационный процесс может быть представлен в виде некоторого дерева, на котором исходная вершина отвечает оптимальному плану Х0, а каждая соединенная с ней ветвью вершина отвечает оптимальным планам задач (5) и (6). Каждая из этих вершин имеет свои ветвления. При этом на каждом шаге выбирается та вершина, для которой значение функции является наибольшим. Если на некотором шаге будет получен план, имеющий целочисленные компоненты, и значение функции на нем окажется больше или равно, чем значение функции в других возможных для ветвления вершинах, то данный план является оптимальным планом исходной задачи целочисленного программирования и значение целевой функции на нем является максимальным.

Итак, процесс нахождения решения задачи целочисленного программирования методом ветвей и границ включает следующие основные этапы:

1. Находят решение задачи линейного программирования.

2. Составляют дополнительные ограничения для одной из переменных, значение которой в оптимальном плане является дробным числом.

3. Находят решение задач (5) и (6), которые получаются из задачи (1)-(3) в результате присоединения дополнительных ограничений.

4. В случае необходимости составляют дополнительные ограничения для переменной, значение которой является дробным, формулируют задачи, аналогичные задачам (5) и (6), и находят их решение.

Итерационный процесс продолжают до тех пор, пока не будет найдена вершина, соответствующая целочисленному плану задачи (1)-(4) и такая, что значение функции в этой вершине больше или равно значению функции в других возможных для ветвления вершинах.

Описанный выше метод ветвей и границ имеет более простую логическую схему расчетов, чем метод Гомори. Поэтому в большинстве случаев для нахождения решения конкретных задач целочисленного программирования с использованием ЭВМ применяется именно этот метод.

Пример использования метода ветвей и границ

В качестве примера к методу ветвей и границ рассмотрим функцию z=4х1+х2+1®max при ограничениях:

font-size:14.0pt">Пусть Х0 = (0; 0), z0 = 1 - «оптимальное» решение. Выполним 1-й этап общего алгоритма и найдем с помощью симплекс-метода, а затем и двойственного симплекс-метода (см. Приложение 1) X1, исходя из ограничений Итак, X1 = (3; 0,5; 0; 1; 0; 2,5), z1= 13,5. Так как z1 дробное, то «оптимальным» так и остается план Х0,

Согласно 2-му пункту нашего плана, составим 2 новых системы ограничений для:

https://pandia.ru/text/79/453/images/image012_25.gif" alt="Описание: http://*****/images/paper/93/79/4327993.png" width="108" height="98"> .

Выполним 3-й пункт алгоритма. Для начала, решим задачу с помощью табличного процессора Microsoft Excel (Приложение 2) и получим X2 = (2; 1) z2= 10. Так как z2 ≥ z0, «оптимальным» становится план Х0.

Решим задачу. Из последнего уравнения очевидно, что x2 = 0. Отсюда следует, что x1 = 3 (максимально возможное). Тогда Х3 = (3; 0), z3 = 13, а следовательно, данный план является оптимальным (теперь уже без кавычек).

Нам не пришлось выполнять 4-й пункт нашего алгоритма в связи с тем, что оптимальное решение найдено, переменные целочисленные. Пример, в котором всё складывается не так просто, приведен в Приложении 3.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе была рассмотрена сущность целочисленного программирования. Затронуты специальные методы решения целочисленных задач. Такие задачи возникают при моделировании разнообразных производственно-экономических, технических, военных и других ситуаций. В то же время ряд проблем самой математики может быть сформулирован как целочисленные экстремальные задачи.

Задачи такого типа весьма актуальны, так как к их решению сводится анализ разнообразных ситуаций, возникающих в экономике, технике, военном деле и других областях. Эти задачи интересны и с математической точки зрения. С появлением ЭВМ, ростом их производительности повысился интерес к задачам такого типа и к математике в целом.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А. Схрейвер. Теория линейного и целочисленного программирования: в 2-х томах.; перевод с английского. 1991г. 360с.

2. Т. Ху. Целочисленное программирование и потоки в сетях.; перевод с английского. 1974г.

3. , . Высшая математика: Математическое программирование. Ученик - 2-е издание. 2001г. 351с.

4. . Математическое программирование: Учебное пособие – 5-е издание, стереотип-М:ФИЗМАТ, 2001г.-264с.

5. , .: Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ЮНИТИ, 1999г.-391с.

6. , ; под ред. Проф. . : Исследование операций в экономике; учеб. Пособие для вузов.

Приложение 2

Решение задачи z = 4х1 + х2 +1 ® max при ограничениях:

с помощью табличного процессора Microsoft Excel.

Впервые метод ветвей и границ был предложен в 1960 г. в работе Лэнд и Дойг применительно к задаче целочисленного линейного программирования. Однако эта работа не оказала заметного непосредственного влияния на развитие дискретного программирования. Фактически «второе рождение» метода ветвей и границ связано с работой Литтла, Мурти, Суини и Кэрел , посвященной задаче коммивояжера; в этой же работе было впервые предложено и общепринятое теперь название метода «метод ветвей и границ». Начиная с этого момента появляется весьма большое число работ, посвященных методу ветвей и границ и различным его модификациям. Столь большой успех (да еще применительно к «классически трудной» задаче о коммивояжере) объясняется тем, что Литтл, Мурти, Суини и Кэрел первыми обратили внимание на широту возможностей метода ветвей и границ, отметили важность использования специфики задачи и сами весьма удачно этой спецификой воспользовались.

В § 1 настоящей главы излагается общая идея метода ветвей и границ; в § 2 - алгоритм Лэнд и Дойг для задачи целочисленного линейного программирования, в § 3 - метод Литтла и др. авторов для задачи коммивояжера.

§ 1. Идея метода ветвей и границ

1.1. Рассмотрим задачу дискретного программирования в следующей общей форме.

Минимизировать

при условии

Здесь G - некоторое конечное множество.

1.2. В основе метода ветвей и границ лежат следующие построения, позволяющие в ряде случаев существенно уменьшить объем перебора.

I. Вычисление нижней границы (оценки).

Часто удается найти нижнюю границу (оценку) целевой функции на множестве планов (или на некотором его подмножестве т. е. такое число что для имеет место

(соответственно для имеет место Разбиение на подмножества (ветвление). Реализация метода связана с постепенным разбиением множества планов на дерево подмножеств (ветвлением). Ветвление происходит по следующей многошаговой схеме.

0-й шаг. Имеется множество Некоторым способом оно разбивается на конечное число (обычно не пересекающихся) подмножестве шаг Имеются множества , еще не подвергавгпиеся ветвлению. По некоторому правилу (указанному ниже) среди них выбирается множество и разбивается на конечное число подмножеств:

Еще не подвергавшиеся разбиению множества

заново обозначаются через

Несколько шагов такого процесса последовательного разбиения схематически изображены на рис. 10.1.1.

III. Пересчет оценок. Если множество то, очевидно,

Поэтому, разбивая в процессе решения некоторое множество на подмножества

В конкретных ситуациях часто оказывается возможным добиться улучшения оценки, т. е. получить хотя бы для некоторых строгое неравенство

IV. Вычисление планов. Для конкретных задач могут быть указаны различные способы нахождения планов в последовательно разветвляемых подмножествах. Любой такой способ существенно опирается на специфику задачи.

V. Признак оптимальности. Пусть

и план X принадлежит некоторому подмножеству Если при этом

то X - оптимальный план задачи (1.1) - (1.2).

Доказательство непосредственно следует из определения оценки.

Обычно этот признак применяется на некотором этапе ветвления (т. е., говоря формально, при ; см. п. II).

VI. Оценка точности приближенного решения. Пусть

Если X - некоторый план исходной задачи (т. е. ), то

Доказательство и здесь сразу следует из определения оценки.

Очевидно, что если разность невелика (т. е. не превышает некоторого выбранного для данной задачи числа), то X можно принять за приближенное решение, за оценку точности приближения.

1.3. Изложим формальную схему метода ветвей и границ.

0-й шаг. Вычисляем оценку . Если при этом удается найти такой план X, что

то X - оптимальный план.

Если оптимальный план не найден, то по некоторому способу разбиваем множество на конечное число подмножеств

и переходим к шагу.

1-й шаг. Вычисляем оценки Если при этом удается найти такой план X, что для некоторого и

то X - оптимальный план.

Если же оптимальный план не найден, то выбираем «наиболее перспективное» для дальнейшего разбиения множество по следующему правилу:

Разбиваем множество на несколько (обычно не пересекающихся) подмножеств.

Ниже приведено условие задачи и текстовая часть решения. Все решение полностью, в формате doc в архиве, вы можете скачать. Некоторые символы могут не отображаться на странице, но документе word все отображается. Еще примеры работ по ЭМММ можно посмотреть

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Издательское предприятие должно выполнить в течении недели (число дней m = 5) работу по набору текста с помощью работников n категорий (высокая, средняя, ниже средней, низкая). Требуются определить оптимальную численность работников по категориям, при которой обеспечивается выполнение работы с минимальным расходом фонда зарплаты при заданных ограничениях. Исходные данные приведены в таблице 1 и 2.

Таблица 1

Таблица 2

Задача должна решаться методом целочисленного линейного программирования в Mathcad 2000/2001.

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Для расчета оптимальной численности работников, при которой обеспечивается минимум расхода фонда зарплаты, составляется математическая модель целочисленного линейного программирования, так как численность работников не может быть дробной величиной.

Решение задачи целочисленного программирования выполняется в два этапа.

На первом этапе выполняется задача линейного программирования без учета целочисленности.

На втором этапе производится пошаговый процесс замены нецелочисленных переменных ближайшими верхними или нижними целыми значениями.

Сначала решается, задача без учета условия целочисленности.

Целевая функция определяется по формуле:

где Q - общий фонд зарплаты на выполнение работы;

x 1 , x 2 , …, x n - численность работников по категориям;

n - число категорий работников;

c 1 , c 2 ,…, c n - дневная тарифная ставка одного работника по категориям;

m - число рабочих дней в неделю, m = 5.

Целевую функцию можно записать в векторной форме:

При решении задачи должны выполняться следующие ограничения. Ограничение сверху

x ≤ d (1)

задает максимальную численность работников по категориям, где d —вектор, определяющий численность по категориям.

В ограничении

учтено, что общая численность работников не должна превышать k max .

В ограничении снизу

р × х≥Р (3)

отражается, что все работники вместе должны выполнить заданный объем работ Р .

В качестве последнего ограничения записывается условие неотрицательности вектора переменных

x ≥0 (4)

Математическая модель решения задачи без учета условия целочисленности включает следующие выражения:

x ≤ d

р × х≥Р ,

x ≥ 0 .

Модель целочисленного программирования должна включать выражения (5), а также дополнительные ограничения, с помощью которых нецелочисленные переменные х заменяются целочисленными значениями. Конкретные выражения модели с целочисленными переменными рассмотрены в следующем подразделе.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В MATHCAD

Исходные данные для примера даны в табл. 1 и 2.

Для решения задачи используется пакет Mathcad с функцией Minimize. Данная функция определяет вектор решения задачи:

х := Minimize (Q , x ),

где Q — выражение целевой функции, определяющей минимальный фонд зарплаты, х - вектор переменных.

Сначала задача решается без учета условия целочисленности. Это решение приведено в Приложении 1. В первой строке введены нулевые начальные значения вектора х и целевая функция Q (x ) . После слова Given и перед функцией Minimize указаны ограничения. В результате получена нецелочисленная оптимальная численность по категориям:

х =

с фондом зарплаты Q = 135 у. е.

Из данного решения находится целочисленное решение методом ветвей и границ.

Сначала в полученном решении анализируется дробная величина х 4 =
= 1,143. Для нее можно задать два целочисленных значения: х 4 = 1 и х 4 = 2. Начинается построение дерева решений (Приложение 2). На дереве решений откладывается начальный нулевой узел. Затем он соединяется первым узлом х 4 , и из этого узла проводятся две ветви, соответствующие ограничениям: х 4 = 1 и х 4 = 2.

Для ветви с ограничением х 4 = 1 решается задача линейного программирования, данная в Приложении 1, с учетом этого ограничения.

В результате получено решение этой задачи. Переменная х 1 стала целочисленная, но переменная х 2 стала дробной х 2 = 0,9.

Для продолжения ветви создается узел х 3 и ветвь х 3 = 1. Снова выполняется задача линейного программирования со всеми тремя ограничениями: x 4 = 1, х 2 = 1, х 3 = 1. С этими ограничениями задача имеет решение х Т =
= (1,938 1 1 1).

Для продолжения ветви создается узел х 1 и ветвь х 1 = 2. Снова выполняется задача линейного программирования со всеми тремя ограничениями: x 4 = 1, х 2 = 1, х 3 = 1, х 1 = 2. С этими ограничениями задача имеет решение х Т = = (2 1 1 1).

Процесс построения дерева решении и выполнение задачи линейного программирования повторяется, пока не будут построены все ветви.

В Приложении 2 приводится полное дерево возможных целочисленных решений, из которого следуют, что в задаче имеется 4 результативных решения.

Из результативных выбирается наилучшее и оно принимается как оптимальное целочисленное решение всей задачи с минимальной величиной Q (x ) . В нашем случае мы имеем два оптимальных целочисленных решения

Q (х) = 140,

x T = (2 1 1 1),

x T = (1 1 2 2).

Следовательно, издательская организация должна привлечь для набора текста двух работников высокой категории, одного работника средней категории, одного работника ниже средней категории и одного работника низкой категории. Возможен так же другой равнозначный вариант привлечения работников: один работник высокой категории, один работник средней категории, два работника категории ниже средней и два работника низкой категории. В обоих вариантах затраты будут минимальными и составят 140 ден. ед.

Скачать решение задачи:

Имя файла: 2.rar
Размер файла: 24.99 Kb

Если закачивание файла не начнется через 10 сек, кликните

Введение

При рассмотрении целого ряда задач, необходимо учитывать требование целочисленности используемых переменных. Методы решения задач линейного программирования не гарантируют целочисленности решения.

Иногда задачи целочисленного линейного программирования решают приближенно. Для этого решают задачу без учета целочисленности переменных, затем в полученном оптимальном решении округляют результаты до ближайших целых значений. Использование таких решений допустимо в тех ситуациях, где значения переменных достаточно велики, и погрешностью округления можно пренебречь. Если значения переменных невелики, то округление может привести к значительному расхождению с оптимальным решением.

Одним из широко распространенных методов решения целочисленных задач является метод ветвей и границ, впервые, он был предложен Ленд и Дойг в 1960 г.

ветвь граница линейное программирование

Метод ветвей и границ

Алгоритм метода ветвей и границ предусматривает декомпозицию исходной задачи линейного программирования (ЗЛП) на последовательность задач, содержащих дополнительные ограничения на переменные, которые затем оптимизируются.

1. Процесс начинают с решения задачи симплексным или графическим методом без учета требования на целочисленность переменных. Эту задачу называют ЗЛП-0. Если все переменные оптимального плана целые, то этот план также является оптимальными для задач целочисленного программирования.

2. Если некоторая переменная, не получила целочисленного значения, то производится ветвление на две новые задачи ЗЛП-1, ЗЛП-2. Одна из задач ЗЛП-1 представляет собой задачу ЗЛП-0, дополненную ограничением где - целая часть числа. Вторая образуется путем добавления к задаче ЗЛП-0 ограничения. Следует отметить, что выбор целочисленной переменной может быть произвольным определяться следующим образом:

по возрастанию или убыванию индексов;

переменная представляет важное решение принимаемое в рамках данной задачи;

коэффициент в целевой функции при этой переменной существенно превосходит все остальные.

3. Задачи ЗЛП-1 и ЗЛП-2 решаются самостоятельно. Ветвь оканчивается, если область допустимых решений пуста, либо её оптимальное решение полностью целочисленное. В противном случае возникает необходимость ветвления с п.2, обозначая следующие номера задач ЗЛП в естественном порядке ЗЛП-3, ЗЛП-4.

Процесс решения можно представить в виде дерева, в котором вершина ЗЛП-0 отвечает начальному плану решения задачи, а каждая из соединенных с ней ветвью вершин отвечает оптимальному плану следующей задачи.

Рассмотрим следующий пример. Максимизировать целевую функцию

при ограничениях

Воспользуемся графическим методом решения задачи линейного программирования.

1. Решим исходную задачу без учета требования целочисленности переменных.

Обозначим эту задачу линейного программирования ЗЛП-0.

На рисунке 1.1 штриховкой выделен многоугольник решений данной задачи. Максимальное значение достигается в точке Решение не является целочисленным.

Следующий шаг метода ветвей и границ состоит в ветвлении по одной из целочисленных переменных, имеющих дробное значение, например. Для этого добавим к задаче ЗЛП-0 два новых ограничения и Этими ограничениями удаляется интервал = в котором нет целых значений. Таким образом, в процессе ветвления создаются две новые задачи ЗЛП-1 и ЗЛП-2.

Рисунок 1.1 Решение задачи ЗЛП-0

2. Решим задачу ЗЛП-1 графически.

На рисунке 1.2 изображена допустимая область задачи ЗЛП-1. Максимальное значение достигается в точке. Решение задачи нецелочисленное.

Рисунок 1.2 Решение задачи ЗЛП-1

3. Решим задачу ЗЛП-2 графически.

В данном случае множество допустимых решений пусто (рисунок 1.2). Система ограничений несовместна, и задачу ЗЛП-2 можно исключить из дальнейшего рассмотрения.

Рисунок 1.3 Решение задачи ЗЛП-2

Теперь продолжим исследование задачи ЗЛП-1, поскольку значение нецелое. Произведем еще одно ветвление, путем введения ограничений и. В результате получаем две новые задачи ЗЛП-3 и ЗЛП-4.