Графический метод решения задач линейного программирования.

Краткая теория

Линейное программирование - раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений. Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений.

Графический метод решения задач линейного программирования дает возможность наглядно представить их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования более сложных свойств. Задачу линейного программирования с двумя переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трехмерном пространстве такое решение усложняется, а в пространствах, размерность которых больше трех, графическое решение, вообще говоря, невозможно. Случай двух переменных не имеет особого практического значения, однако его рассмотрение проясняет свойства ограничений ЗЛП, приводит к идее ее решения, делает геометрически наглядными способы решения и пути их практической реализации.

Если ограничения и целевая функция содержит более двух переменных, тогда необходимо (или методом последовательного улучшения решения) - он универсален и им можно решить любую ЗЛП. Для некоторых прикладных задач линейного программирования, таких как , разработаны специальные методы решения.

Пример решения задачи

Условие задачи

Предприятие выпускает два вида продукции: Изделие 1 и Изделие 2. На изготовление единицы Изделия 1 требуется затратить кг сырья первого типа, кг сырья второго типа, кг сырья третьего типа. На изготовление единицы Изделия 2 требуется затратить кг первого типа, сырья второго типа, сырья третьего типа. Производство обеспечено сырьем каждого типа в количестве кг, кг, кг соответственно. Рыночная цена единицы Изделия 1 составляет тыс руб., а единицы Изделия 2 - тыс. руб.

Требуется:

• Построить математическую модель задачи.
• Составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную выручку от их реализации при помощи графического метода решения задачи линейного программирования.

Чтобы решение задачи по линейному программированию было максимально точным и верным, многие недорого заказывают контрольную работу на этом сайте. Подробно (как оставить заявку, цены, сроки, способы оплаты) можно почитать на странице Купить контрольную работу по линейному программированию...

Решение задачи

Построение модели

Через и обозначим количество выпускаемых изделий 1-го и 2-го типа.

Тогда ограничения на ресурсы:

Кроме того, по смыслу задачи

Целевая функция экономико-математической модели, выражающая получаемую от реализации выручку:

Получаем следующую экономико-математическую модель:

Построение области допустимых решений

Решим полученную задачу линейного программирования графическим способом:

Для построения области допустимых решений строим в системе координат соответствующие данным ограничениям-неравенствам граничные прямые:

Найдем точки, через которые проходят прямые:

Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее.

Для определения полуплоскости возьмём любую точку, например , не принадлежащую прямой (1), подставим координаты (0;0) в соответствующее неравенство. Т.к. неравенство верно:

Области решений соответствующего 1-го неравенства соответствует левая полуплоскость

Возьмём любую точку, например , не принадлежащую прямой (2), подставим координаты (0;0) в соответствующее неравенство. Т.к. неравенство верно:

Возьмём любую точку, например , не принадлежащую прямой (3), подставим координаты (0;0) в соответствующее неравенство. Т.к. неравенство верно:

Области решений соответствующего 2-го неравенства соответствует левая полуплоскость

Областью допустимых решений является фигура .

Нахождение решения задачи ЛП

Строим вектор , координаты которого пропорциональны коэффициентам целевой функции. Здесь - коэффициент пропорциональности.

Перпендикулярно к построенному вектору проводим линию уровня .

Перемещаем линию уровня в направлении вектора так, чтобы она касалась области допустимых решений в крайней точке. Решением на максимум является точка , координаты которой находим как точку пересечения прямых (2) и (1).

Ответ

Таким образом необходимо выпускать 56 изделий 1-го вида и 64 изделия 2-го вида. При этом выручка от реализации изделий будет максимальна и составит 5104 ден.ед.

Метод графического решения, если задача с двумя переменными имеет линейные ограничения, а целевая функция - квадратичная, подробно рассмотрен здесь
На странице подробно разобрано решение задачи линейного программирования симплексным методом, кроме того, показано построение двойственной задачи линейного программирования и нахождение ее решения по решению прямой задачи.

Транспортная задача и метод потенциалов
Подробно рассмотрена транспортная задача, ее математическая модель и методы решения - нахождение опорного плана методом минимального элемента и поиск оптимального решения методом потенциалов.

Выпуклое программирование - графический метод
Приведен образец решения задачи квадратичного выпуклого программирования графическим методом.

Наиболее простым и наглядным методом решения задачи линейного программирования (ЗЛП) является графический метод. Он основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется при решении ЗЛП с двумя неизвестными:

Будем рассматривать решение этой задачи на плоскости. Каждое неравенство системы функциональных ограничений геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой а п х, + + a j2 х 2 = b n i = 1, т. Условия неотрицательности определяют полуплоскости с граничными прямыми х { = 0, х 2 = 0 соответственно. Если система совместна, то полуплоскости, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек; координаты каждой из этих точек являются решением данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Он может быть точкой, отрезком, лучом, ограниченным и неограниченным многоугольником.

Геометрически ЗЛП представляет собой отыскание такой угловой точки многоугольника решений, координаты которой доставляют максимальное (минимальное) значение линейной целевой функции, причем допустимыми решениями являются все точки многоугольника решений.

Линейное уравнение описывает множество точек, лежащих на одной прямой. Линейное неравенство описывает некоторую область на плоскости.

Определим, какую часть плоскости описывает неравенство 2х { + Зх 2 12.

Во-первых, построим прямую 2х, + Зх 2 = 12. Она проходит через точки (6; 0) и (0; 4). Во-вторых, определим, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству. Для этого выбираем любую точку на графике, не принадлежащую прямой, и подставляем ее координаты в неравенство. Если неравенство будет выполняться, то данная точка является допустимым решением и полуплоскость, содержащая точку, удовлетворяет неравенству. Для подстановки в неравенство удобно использовать начало координат. Подставим х { = х 2 = 0 в неравенство 2х, + Зх 2 12. Получим 2 0 + 3 0

Аналогично графически можно изобразить все ограничения задачи линейного программирования.

Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений (ОДР) или областью определения.

Необходимо помнить, что область допустимых решений удовлетворяет условиям неотрицательности (Xj > 0, j = 1, п). Координаты любой точки, принадлежащей области определения, являются допустимым решением задачи.

Для нахождения экстремального значения целевой функции при графическом решении ЗЛП используют вектор-градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции:

Этот вектор показывает направление наискорейшего изменения целевой функции. Прямая c [ x l + с 2 х 2 = f(x 0), перпендикулярная вектору-градиенту, является линией уровня целевой функции (рис. 2.2.2). В любой точке линии уровня целевая функция принимает одно и то же значение. Приравняем целевую функцию постоянной величине а. Меняя значение а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня целевой функции.

Рис. 2.2.2.

Важное свойство линии уровня линейной функции состоит в том, что при параллельном смещении линии в одну сторону уровень только возрастает, а при смещении в д р у г у ю сторону - только убывает.

Графический метод решения ЗЛП состоит из четырех этапов:

• 1. Строится область допустимых решений (ОДР) ЗЛП.
• 2. Строится вектор-градиент целевой функции (ЦФ) с началом в точке х 0 (0; 0): V = (с, с 2).
• 3. Линия уровня CjXj + с 2 х 2 = а (а - постоянная величина) - прямая, перпендикулярная вектору-градиенту V, - передвигается в направлении вектора-градиента в случае максимизации целевой функции f(x v х 2) до тех пор, пока не покинет пределов ОДР. При минимизации /(*, х 2) линия уровня перемещается в направлении, противоположном вектору-градиенту. Крайняя точка (или точки) ОДР при этом движении и является точкой максимума (минимума) f(x p jc 2).

Если прямая, соответствующая линии уровня, при своем движении не покидает ОДР, то минимума (максимума) функции f(x р х 2) не существует.

Если линия уровня целевой функции параллельна функциональному ограничению задачи, на котором достигается оптимальное значение ЦФ, то оптимальное значение ЦФ будет достигаться в любой точке этого ограничения, лежащей между двумя оптимальными угловыми точками, и, соответственно, любая из этих точек является оптимальным решением ЗЛП.

4. Определяются координаты точки максимума (минимума). Для этого достаточно решить систему уравнений прямых, дающих в пересечении точку максимума (минимума). Значение f(x { , х 2), найденное в полученной точке, является максимальным (минимальным) значением целевой функции.

Возможные ситуации графического решения ЗЛП представлены в табл. 2.2.1.

Таблица 2.2.1

Вид ОДР	Вид оптимального решения
Ограниченная	Единственное решение
	Бесконечное множество решений
Неограниченная	ЦФ не ограничена снизу
	ЦФ не ограничена сверху
	Единственное решение
	Бесконечное множество решений
	Единственное решение
	Бесконечное множество решений

Пример 2.2.1. Планирование выпуска продукции пошивочного предприятия (задача о костюмах).

Намечается выпуск двух видов костюмов - мужских и женских. На женский костюм требуется 1 м шерсти, 2 м лавсана и 1 человекодень трудозатрат; на мужской - 3,5 м шерсти, 0,5 м лавсана и 1 человекодень трудозатрат. Всего имеется 350 м шерсти, 240 м лавсана и 150 человекодней трудозатрат.

Требуется определить, сколько костюмов каждого вида необходимо сшить, чтобы обеспечить максимальную прибыль, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 ден. ед., а от мужского - 20 ден. ед. При этом следует иметь в виду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов.

Экономико-математическая модель задачи

Переменные : х, - число женских костюмов; х 2 - число мужских костюмов.

Целевая функция :

Ограничения :

Первое ограничение (по шерсти) имеет вид х { + 3,5х 2 х { + 3,5х 2 = 350 проходит через точки (350; 0) и (0; 100). Второе ограничение (по лавсану) имеет вид 2х { + 0,5х 2 2х х + 0,5х 2 = 240 проходит через точки (120; 0) и (0; 480). Третье ограничение (по труду) имеет вид х у +х 2 150. Прямая х { + х 2 = 150 проходит через точки (150; 0) и (0; 150). Четвертое ограничение (по количеству мужских костюмов) имеет вид х 2 > 60. Решением этого неравенства является полуплоскость, лежащая выше прямой х 2 = 60.

В результате пересечения построенных четырех полуплоскостей получаем многоугольник, который и является областью допустимых решений нашей задачи. Любая точка этого многоугольника удовлетворяет всем четырем функциональным неравенствам, а для любой точки вне этого многоугольника хотя бы одно неравенство будет нарушено.

На рис. 2.2.3 затенена область допустимых решений (ОДР). Для определения направления движения к оптимуму построим вектор- градиент V, координаты которого являются частными производными целевой функции:

Чтобы построить такой вектор, нужно соединить точку (10; 20) с началом координат. Для удобства можно строить вектор, пропорциональный вектору V. Так, на рис. 2.2.3 изображен вектор (30; 60).

Затем построим линию уровня 10xj + 20х 2 = а. Приравняем целевую функцию постоянной величине а. Меняя значение а , получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня целевой функции.

Если в задаче линейного программирования имеется только две переменные, то ее можно решить графическим методом.

Рассмотрим задачу линейного программирования с двумя переменными и :
(1.1) ;
(1.2)
Здесь , есть произвольные числа. Задача может быть как на нахождение максимума (max), так и на нахождение минимума (min). В системе ограничений могут присутствовать как знаки , так и знаки .

Построение области допустимых решений

Графический метод решения задачи (1) следующий.
Вначале мы проводим оси координат и и выбираем масштаб. Каждое из неравенств системы ограничений (1.2) определяет полуплоскость, ограниченную соответствующей прямой.

Так, первое неравенство
(1.2.1)
определяет полуплоскость, ограниченную прямой . С одной стороны от этой прямой , а с другой стороны . На самой прямой . Чтобы узнать, с какой стороны выполняется неравенство (1.2.1), мы выбираем произвольную точку, не лежащую на прямой. Далее подставляем координаты этой точки в (1.2.1). Если неравенство выполняется, то полуплоскость содержит выбранную точку. Если неравенство не выполняется, то полуплоскость расположена с другой стороны (не содержит выбранную точку). Заштриховываем полуплоскость, для которой выполняется неравенство (1.2.1).

Тоже самое выполняем для остальных неравенств системы (1.2). Так мы получим заштрихованных полуплоскостей. Точки области допустимых решений удовлетворяют всем неравенствам (1.2). Поэтому, графически, область допустимых решений (ОДР) является пересечением всех построенных полуплоскостей. Заштриховываем ОДР. Она представляет собой выпуклый многоугольник, грани которого принадлежат построенным прямым. Также ОДР может быть неограниченной выпуклой фигурой, отрезком, лучом или прямой.

Может возникнуть и такой случай, что полуплоскости не содержат общих точек. Тогда областью допустимых решений является пустое множество. Такая задача решений не имеет.

Можно упростить метод. Можно не заштриховывать каждую полуплоскость, а вначале построить все прямые
(2)
Далее выбрать произвольную точку, не принадлежащую ни одной из этих прямых. Подставить координаты этой точки в систему неравенств (1.2). Если все неравенства выполняются, то область допустимых решений ограничена построенными прямыми и включает в себя выбранную точку. Заштриховываем область допустимых решений по границам прямых так, чтобы оно включало в себя выбранную точку.

Если хотя бы одно неравенство не выполняется, то выбираем другую точку. И так далее, пока не будет найдены одна точка, координаты которой удовлетворяют системе (1.2).

Нахождение экстремума целевой функции

Итак, мы имеем заштрихованную область допустимых решений (ОДР). Она ограничена ломаной, состоящей из отрезков и лучей, принадлежащих построенным прямым (2). ОДР всегда является выпуклым множеством. Оно может быть как ограниченным множеством, так и не ограниченным вдоль некоторых направлений.

Теперь мы можем искать экстремум целевой функции
(1.1) .

Для этого выбираем любое число и строим прямую
(3) .
Для удобства дальнейшего изложения считаем, что эта прямая проходит через ОДР. На этой прямой целевая функция постоянна и равна . такая прямая называется линией уровня функции . Эта прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. На одной полуплоскости
.
На другой полуплоскости
.
То есть с одной стороны от прямой (3) целевая функция возрастает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3), тем больше будет значение . С другой стороны от прямой (3) целевая функция убывает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3) в другую сторону, тем меньше будет значение . Если мы проведем прямую, параллельную прямой (3), то новая прямая также будет линией уровня целевой функции, но с другим значением .

Таким образом, чтобы найти максимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3), максимально удаленную от нее в сторону возрастания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР. Чтобы найти минимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3) и максимально удаленную от нее в сторону убывания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР.

Если ОДР неограниченна, то может возникнуть случай, когда такую прямую провести нельзя. То есть как бы мы ни удаляли прямую от линии уровня (3) в сторону возрастания (убывания) , то прямая всегда будет проходить через ОДР. В этом случае может быть сколь угодно большим (малым). Поэтому максимального (минимального) значения нет. Задача решений не имеет.

Рассмотрим случай, когда крайняя прямая, параллельная произвольной прямой вида (3), проходит через одну вершину многоугольника ОДР. Из графика определяем координаты этой вершины. Тогда максимальное (минимальное) значение целевой функции определяется по формуле:
.
Решением задачи является
.

Также может встретиться случай, когда прямая параллельна одной из граней ОДР. Тогда прямая проходит через две вершины многоугольника ОДР. Определяем координаты и этих вершин. Для определения максимального (минимального) значения целевой функции, можно использовать координаты любой из этих вершин:
.
Задача имеет бесконечно много решений. Решением является любая точка, расположенная на отрезке между точками и , включая сами точки и .

Пример решения задачи линейного программирования графическим методом

Условие задачи

Фирма выпускает платья двух моделей А и В. При этом используется ткань трех видов. На изготовление одного платья модели А требуется 2 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. На изготовление одного платья модели В требуется 3 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. Запасы ткани первого вида составляют 21 м, второго вида - 10 м, третьего вида - 16 м. Выпуск одного изделия типа А приносит доход 400 ден. ед., одного изделия типа В - 300 ден. ед.

Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший доход. Задачу решить графическим методом.

Решение

Пусть переменные и означают количество произведенных платьев моделей А и В, соответственно. Тогда количество израсходованной ткани первого вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани второго вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани третьего вида составит:
(м)
Поскольку произведенное количество платьев не может быть отрицательным, то
и .
Доход от произведенных платьев составит:
(ден. ед.)

Тогда экономико-математическая модель задачи имеет вид:

Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (10,5; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 10) и (10; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (8; 0).

Заштриховываем область, чтобы точка (2; 2) попала в заштрихованную часть. Получаем четырехугольник OABC.

(П1.1) .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 4) и (3; 0).

Далее замечаем, что поскольку коэффициенты при и целевой функции положительны (400 и 300), то она возрастает при увеличении и . Проводим прямую, параллельную прямой (П1.1), максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку четырехугольника OABC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Решение задачи: ;

Ответ

.
То есть, для получения наибольшего дохода, необходимо изготовить 8 платьев модели А. Доход при этом составит 3200 ден. ед.

Пример 2

Условие задачи

Решить задачу линейного программирования графическим методом.

Решение

Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 6) и (6; 0).

Строим прямую .
Отсюда .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (7; 2).

Строим прямую .
Строим прямую (ось абсцисс).

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область по границам построенных прямых, чтобы точка (4; 1) попала в заштрихованную часть. Получаем треугольник ABC.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
.
При .
При .
Проводим прямую линию уровня через точки (0; 6) и (4; 0).
Поскольку целевая функция увеличивается при увеличении и , то проводим прямую, параллельную линии уровня и максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку треугольника АВC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Решение задачи: ;

Ответ

Пример отсутствия решения

Условие задачи

Решить графически задачу линейного программирования. Найти максимальное и минимальное значение целевой функции.

Решение

Решаем задачу графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (2,667; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 3) и (6; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (6; 3).

Прямые и являются осями координат.

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми и осями координат. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область, чтобы точка (3; 3) попала в заштрихованную часть. Получаем неограниченную область, ограниченную ломаной ABCDE.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
(П3.1) .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (7; 0).
Поскольку коэффициенты при и положительны, то возрастает при увеличении и .

Чтобы найти максимум, нужно провести параллельную прямую, максимально удаленную в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Однако, поскольку область неограниченна со стороны больших значений и , то такую прямую провести нельзя. Какую бы прямую мы не провели, всегда найдутся точки области, более удаленные в сторону увеличения и . Поэтому максимума не существует. можно сделать сколь угодно большой.

Ищем минимум. Проводим прямую, параллельную прямой (П3.1) и максимально удаленную от нее в сторону убывания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.
Минимальное значение целевой функции:

Ответ

Максимального значения не существует.
Минимальное значение
.

Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач ЛП с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.

Каждое из неравенств задачи ЛП определяет на координатной плоскости (х 1 ,х 2 ) некоторую полуплоскость (рис. 1), а система неравенств в целом - пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена, выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи ОДР является пустым множеством.

Примечание № 1. Все вышесказанное относится и к случаю, когда система ограничений (1.1) включает равенства, поскольку любое равенство

a il x 1 +a i 2 x 2 =b

можно представить в виде системы двух неравенств (рис. 1)

A i 2 x 2 <Ь 1э +a i 2 x 2 >bj.

ЦФ L(x)= с1х1 + с2х2 при фиксированном значении L(х)=L определяет на плоскости прямую линию с1х1 + с2х2 = L. Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня.

Это связано с тем, что изменение значения L повлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси х2 (начальная ордината), а угловой коэффициент прямой tgа = -- останется постоянным (рис. 1).

Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение L.

Вектор C = (c1;c2) с координатами из коэффициентов ЦФ при х1 и х2 перпендикулярен к каждой из линий уровня (см. рис. 1). Направление вектора С совпадает с направлением возрастания ЦФ, что является важным моментом для решения задач. Направление убывания ЦФ противоположно направлению вектора С.

Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора С в ОДР производится поиск оптимальной точки X = (х1; х2). Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня L max (L min), соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции L(x). Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.

При поиске оптимального решения задач ЛП возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений - единственная точка; задача не имеет решений.

Допустимая область - полуплоскость

Рисунок 1

1.2. Методика решения задач лп графическим методом

I. Вограничениях задачи замените знаки неравенств на знаки точных равенств и постройте соответствующие прямые.

II. Найдите и заштрихуйте полуплоскости, разрешенные каждым из ограничений-неравенств задачи. Для этого подставьте в конкретное неравенство координаты какой-либо точки [например, (0;0)], и проверьте истинность полученного неравенства.

Если неравенство истинное, то надо заштриховать полуплоскость, содержащую данную точку; иначе (неравенство ложное) надо заштриховать полуплоскость, не содержащую данную точку.

Поскольку х1 и х2 должны быть неотрицательными, то их допустимые значения всегда будут находиться выше оси х 1 и правее оси х2, т.е. в 1-м квадранте.

Ограничения-равенства разрешают только те точки, которые лежат на соответствующей прямой, поэтому выделите на графике такие прямые.

Определите ОДР как часть плоскости, принадлежащую одновременно всем разрешенным областям, и выделите ее. При отсутствии ОДР задача не имеет решений, о чем сделайте соответствующий вывод.

Если ОДР - не пустое множество, то постройте целевую прямую, т.е. любую из линий уровня с 1 х 1 + с 2 х 2 = L, где L - произвольное число, например, кратное с 1 и с 2 , т.е. удобное для проведения расчетов. Способ построения аналогичен построению прямых ограничений.

V. Постройте вектор C = (c 1 ,с 2), который начинается в точке (0;0), заканчивается в точке (c 1 ,с 2). Если целевая прямая и вектор С построены верно, то они будут перпендикулярны.

VI. При поиске max ЦФ передвигайте целевую прямую в направлении вектора С, при поиске min ЦФ - против направления вектора С. Последняя по ходу движения вершина ОДР будет точкой max или min ЦФ. Если такой точки (точек) не существует, то сделайте вывод о неограниченности ЦФ на множестве планов сверху (при поиске шах) или снизу (при поиске min).

Определите координаты точки max (min) ЦФ X = (х1 * ; х2 * ) и вычислите значение ЦФ l(x *). Для вычисления координат оптимальной точки X * решите систему уравнений прямых, на пересечении которых находится X * .

Задача 1

Найдем оптимальное решение задачи, математическая модель которой имеет вид

L(Х) = 3x 1 + 2x 2 → max

х 1 + 2х 2 < 6, (1)

2х 1 + х 2 < 8, (2)

Х 1 +х 2 <1, (3)

х 2 < 2, (4)

х 1 >0,х 2 >0.

Построим прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис. 2).

х 1 + 2х 2 = 6,(1)

2х1 + х2= 8,(2)

(1) х1=0, х1=6, х2=3, х2=0,

(2) х1=0, х1=4, х2=8, х2=0,

(3) х1=0, х1=-1, х2=1, х2=0,

Прямая (4) проходит через точку х 2 = 2 параллельно оси L(Х).

Рис. 2. Графическое решение задачи

Определим ОДР. Например, подставим точку (0;0) в исходное ограничение (3), получим 0 < 1, что является истинным неравенством, поэтому стрелкой (или штрихованием) обозначим полуплоскость, содержащую точку (0;0), т.е. расположенную правее и ниже прямой (3). Аналогично определим допустимые полуплоскости для остальных ограничений и укажем их стрелками у соответствующих прямых ограничений (рис. 2). Общей областью, разрешенной всеми ограничениями, т.е. ОДР является многоугольник ABCDEF.

Целевую прямую можно построить по уравнению

Строим вектор С из точки (0;0) в точку (3;2). Точка Е- это последняя вершина многоугольника допустимых решений ABCDEF, через которую проходит целевая прямая, двигаясь по направлению вектора С. Поэтому Е -это точка максимума ЦФ. Определим координаты точки Е из системы уравнений прямых ограничений (1) и (2)

Х1 +2х 2 =6, (1) х1=10/3=3 1/3, х2=4/3=1 1/3

2 Х1 +х 2 =8, (2) Е 3 1/3; 1 1/3

Максимальное значение ЦФ равно L(E) = 3*10/3+2*4/3 = 12 2 / 3

Важным методом научного анализа статистического материала выступают графические изображения. Первые попытки использования графических методов в экономических исследованиях начались еще в 1780-х годах. Однако более широкого применения графический метод получил позже - в середине XVIII в., Особенно после впервые в истории сделанной статистики докладе представителя Берлинского статистического бюро Швабе "Теория графических изображений" на 8-м Международном статистическом конгрессе (Петербург, 1872 г.). По известному выражению немецкого физика Ф. Ауэрбаха, XX в. ознаменовалось "триумфальной поступью графического метода в науке".

Что же такое график? График - это форма наглядного представления статистических данных о социально-экономические явления и процессы через геометрические образы, рисунки или схематические географические карты и пояснения к ним.

График имеет пять основных элементов общей конструкции: поле, координатную сетку, графические знаки и их размещения в поле графика, масштаб и экспликация (рис. 10.3).

Рис. 10.3. Основные элементы графика

Каждый из этих элементов имеет свое назначение и выполняет соответствующую роль в построении и интерпретации. Поле графика - это пространство, на котором размещаются геометрические и другие знаки, составляющие графическое изображение.

Графический образ - это совокупность различных символических знаков, с помощью которых отражаются статистические данные. Эти знаки могут изображаться в формах: линий, точек, геометрических, графических, а иногда негеометричних фигур.

Координатная сетка - это прямоугольная система координат, в которой на оси абсцисс откладывается время, а на оси ординат - количественные показатели по масштабу.

Масштаб - условная мера перевода числовой величины статистического явления в графическую и наоборот. Он служит для установки числовых значений явлений, выраженных на графике.

Экспликация графика - словесное объяснение его конкретного содержания, которое обычно включает:

1) заголовок с необходимыми дополнительными пояснениями;

2) точное объяснение сущности, условно предоставляется в данном графике его графическим знакам (геометрическим, изобразительным, фоновым, чисто условным)

3) другие объяснения, примечания и т.

Кроме того, на поле графика можно наносить некоторые дополнительные сведения, например числовые данные, которые сказываются у некоторых графических знаков и повторяют в цифровой форме их точные значения, выраженные графически.

Графики играют особенно важную роль в изучении сложных взаимосвязей социально-экономических явлений и процессов, выявлении тенденций, закономерностей и изменения показателей динамики, а также в текущем анализе. Основными отличиями и преимуществами графического метода по сравнению с другими является: лучшая наглядность; возможность в целом охватить данные изучаемых; возможность выражения некоторых аналитических зависимостей, которые не очень четкие и тяжелые для выявления при других способах представления данных.

С помощью графиков можно осуществлять оперативный контроль за производством, реализацией продукции, выполнением договорных обязательств и поставленных задач. Таким образом, графики назначены:

Для обобщения и анализа данных;

Изображение распределения данных;

Выявление закономерностей развития исследуемых явлений и процессов в динамике;

Отражение взаимосвязей показателей;

Осуществление контроля за производством, выполнением договоров по сбыту продукции и тому подобное.

Есть различные классификации графиков - по форме графических образов, по содержанию, характеру поставленных задач.

По форме графических образов различают следующие типы графиков:

1) точечные;

2) линейные;

3) плоскостные;

4) объемные;

5) художественные (изобразительные, условные).

В точечных графиках объем совокупности выражается или одной точкой, или накоплением точек. Одна точка может означать один случай или несколько (например, один завод, 500 работников).

Линейные графики состоят из одних линий: отрезков прямой, ломаных, ступенчатых, плавных кривых (в основном для передачи динамики совокупности). Часто отрезки прямой заменяют полосками одинаковой ширины, которые выступают также как графические знаки но одним измерением (длиной). В таких случаях графики называют столбиковой, если полоски размещены вертикально, или ленточными, когда полоски лежат горизонтально.

В свою очередь колонке графики делятся на колонке диаграммы: простые и сплошные, из групп столбиков и т.д., а ленточные - на ленточные диаграммы: простые и ступенчатые, компонентнипарни, скользящие, двусторонне направлены (например, "возрастная пирамида" состава населения).

К специальным видам линейных графиков относятся спиральные (для явлений, которые неограниченно развиваются во времени и по нарастающей величине), радиальные диаграммы (для отображения закономерностей периодически повторяющихся явлений, их ритмичности, сезонности).

Плоскостные графики - это графики двух измерений в виде плоскостей разных геометрических форм. В зависимости от этого они могут быть квадратными, круговыми, секторными. Эти графики целесообразно использовать для сравнения явлений, представленных абсолютными и относительными величинами.

Важными особенностями плоскостных графиков является двухмерный "знак Варзара", ленточная или текущая диаграмма и балансовая диаграмма.

Двухмерный "знак Варзара" (по имени его изобретателя русского статистика В.Е. Варзара) - это прямоугольник с основанием а высотой Ь и площадью Sab, который является полезным для графического выражения довольно частых подобных соотношений трех величин a, by S.

Ленточная, или текущая, диаграмма применяется для схематического выражения объема и состава грузопотоков между двумя пунктами в одном и втором направлениях.

Балансовая диаграмма - это двусторонняя ленточная диаграмма, ленты которой разветвляются в две стороны на более узкие полоски, своей шириной выражают соответствующие величины статей доходов и расходов, статей актива и пассива и тому подобное.

Объемные - трехмерные графики, которые используются редко, поскольку они менее выразительные по сравнению с линейными и плоскостными.

Художественные (изобразительные, условные) - графики с условными графическими знаками, которые отражают совокупности или ее отдельные значения в виде фигур людей, контуров животных, схематических рисунков предметов и т.

Большое значение имеет классификация графиков по их содержанию. Учитывая это графики делятся на два класса - диаграммы и статистические карты.

Диаграмма - это графическое выражение объемов и особенностей одной или нескольких совокупностей с помощью количественных графических знаков (геометрических, художественных, фоновых, чисто условных).

Однако диаграмма не дает графического представления о территориальное размещение изображаемых совокупностей или территориальную изменение их признаков. Для этого используются статистические карты, предназначенные для изображения территориального размещения совокупностей или территориальной изменения их признаков. Они делятся на два класса - картограммы и картодиаграммы.

Картограммы - контурные географические карты, на которых с помощью графических знаков представлена количественная территориальная характеристика совокупности.

Картодиаграммы - контурные географические карты, где отдельные районы (области, пункты) территории нанесены одинакового вида диаграммы (одна или несколько), изображающие объем и территориальные особенности однотипных совокупностей в этих районах. Так, например, изображаются потоки грузов, перевозимых пассажиров, население, мигрирует и тому подобное.

Диаграммы и статистические карты выполняют такие важные задачи по исследованию совокупности:

Общее их сравнения;

Изучение структуры;

Изучение динамики;

Изучение взаимосвязей их признаков;

Измерение степени выполнения хозяйственных планов, договорных обязательств в планово-экономической практике.

В свою очередь и диаграммы, и картограммы в зависимости от их назначения делятся на подклассы, группы и формы (табл. 10.27).

При построении графиков следует соблюдать следующие требования:

1) опираться на достоверные числовые данные;

2) графики должны быть значимыми по замыслу и интересными по содержанию;

3) должны быть построенными в соответствии с поставленными задачами и их практического назначения;

4) быть предельно экономными - содержать максимум сведений, идей при минимуме средств их графического выражения, простыми, четкими, понятными;

5) технически хорошо выполненными.

Рассмотрим подробнее основные виды и формы диаграмм и статистических карт, которые чаще всего используются в практике аналитической работы.

Линейная диаграмма - один из самых распространенных видов графиков, который служит для изображения динамики исследуемых явлений. Для его построения используется прямоугольная система координат. На оси абсцисс откладывают равные отрезки - периоды времени (дни, месяцы, годы и т. П.), А на оси ординат - принят масштаб, характеризующий единицы измерения. На координатном поле наносят точки, равны величине показателя на определенный период. Затем все точки соединяются прямыми линиями, в результате чего получают ломаную линию, которая характеризует изменение изучаемого явления за определенный период времени (табл. 10.28, рис. 10.4).

	Подкласс		Разновидности и графическая форма, чаще всего встречается
Диаграммы	И. Диаграммы общего сравнения совокупностей	1. однородных совокупностей	Колонке, ленточные, художественные
		2. Разнородных совокупностей	Колонке, ленточные, плоскостные
	II. Диаграммы структуры	1. Диаграммы распределения численности	Полигон, гистограмма, кумулята, огива, кривая распределения, график Лоренца, корреляционное поле
		2. Диаграммы группам	Диаграммы из столбиков, лент, разделенных на абсолютные или процентные части, секторные, балансовые диаграммы, "возрастная пирамида» и др.
	III. Диаграммы динамики	1. Диаграммы динамики объемов	Колонке, линейные, кумулятивные, спиральные, художественные диаграммы
		2. Диаграммы динамики структуры	Диаграммы из столбиков с процентным делением, по кругам с разделением на сектора и др.
		3. Диаграммы сезонных колебаний	Линейные, столбиковые, радиальные диаграммы
	IV. Диаграммы взаимосвязей признаков	1. Диаграммы конфигурации совокупности	Точечные, фоновые
		2. Диаграммы формы связи	Диаграммы с ломаных или с плавных кривых
		3. Диаграммы степени тесноты связи	Замкнутые контуры корреляционного поля в виде ступенчатых ломаных или эллипсообразных кривых и т.д.
	V. Диаграммы выполнения планов	1. Диаграммы текущего выполнения	Линейные диаграммы, графики Ганта
		2. Диаграммы выполнения от начала периода	Кумуляты, кумулятивные графики Ганта, графики Лоренца
Статистические карты	VI. Картограммы	1. Картограммы размещения единиц совокупности	Точечные картограммы
		2. Картограммы размещения совокупного объема признаки	Точечные картограммы
		3. Картограммы изменения сводных признаков	Точечные, фоновые картограммы
		4. Изолинийни картограммы	Линейные картограммы
		5. Центрограмы	Точечные картограммы

Таблица 10.28. Инвестиции в основной капитал в жилищное строительство Украины в 2000-2005 pp., В фактических ценах, млн грн

Данные графика свидетельствуют, что объемы инвестиций в основной капитал в жилищное строительство Украины в фактических ценах росли с 2000 в 2005

Рис. 10.4. Динамика объема инвестиций в основной капитал в жилищное строительство Украины в 2000-2005 гг., В фактических ценах, млн грн

Планово-линейные графики строят на специально разработанной сетке, где по горизонтали откладывают единицы времени, а по вертикали размещают объекты исследования. Причем, каждый отрезок по горизонтали соответствует 100% -му выполнению планового задания. Эти отрезки делятся на 5 равных частей, каждая из которых соответствует 20% планового задания.

Степень выполнения плана на графике изображается двумя линиями: тонкой прерывистой - за единицу времени (день, декаду) и сплошной жирной - за отчетный период в целом.

Рассмотрим порядок построения планово-линейного графика на примере.

Пример. Построить линейный график выполнения планового задания бригадой рабочих из строительно-монтажных работ, используя данные табл. 10.29.

Таблица 10.29. Выполнение планового задания бригадой рабочих из строительно-монтажных работ

График выполнения планового задания бригадой строителей по строительно-монтажных работ представлен на рис. 10.5.

Тонкая непрерывный линия первого дня соответствует 90% выполнения плана и занимает четыре с половиной ячейки, а линия второго дня - 80% и занимает четыре клетки, линия третий день протянулась ровно на пять, а четвертого - на пять ячеек (100%) плюс еще дополнительный отрезок ниже, который занимает 20% и т.п.

Изображение уровня выполнения плана нарастающим итогом требует некоторых дополнительных расчетов. Так, за первый день сплошная жирная линия будет такой длины, как и тонкая непрерывный - 90% и займет четыре с половиной клетки. Далее следует сделать следующие расчеты: за два дня фактически выполнено 513 м 2 (225 + 288). Из этой суммы 250 м 2 относят в счет выполнения плана за первый день. Тогда в счет второго дня останется 263 м 2, что согласно плану в этот день составляет 91% (263 288).

Согласно жирная линия занимает пять ячеек первого дня и 91% второго. За три дня фактически было выполнено 923 м 2 (225 + 288 + 410). В счет выполнения плана первых двух дней записывается 610 м 2, а в счет третьего дня - 313 м 2, что согласно плану на этот день составляет 76% (313: 410). Жирная линия займет по 5 ячеек первого и второго дней и 76% третьему. Аналогично проводятся все дальнейшие расчеты. Степень выполнения плана за каждый день на жирной линии сказывается точками.

Колонке диаграммы - очень распространенный вид графиков в одном измерении благодаря их наглядности и простоте. Статистические данные в них изображаются в виде прямоугольников одинаковой ширины, расположенных вертикально по горизонтальной прямой (рис. 10.6).

Высота столбиков должна соответствовать величине изображенных явлений. Если же столбики размещают горизонтально, то такой график называется ленточным (рис. 10.7).

Колонке и ленточные диаграммы позволяют сравнивать величины разного значения, характеризовать одно и то же явление в динамике; характеризовать совокупность.

Секторные диаграммы (или круговые) - диаграммы, предназначенные для отображения структуры исследуемых явлений и процессов. Они изображаются в виде круга, разделенного на сектора, величины которых соответствуют размерам изображаемых явлений (рис. 10.8).

Как свидетельствуют данные графика (рис. 10.8), основным источником финансирования лизинговых операций в Украине выступают банковские кредиты (80,9%), затем - собственные средства (16,1%). Заемные средства юридических лиц составляют лишь 3,6%.

Рис. 10.6. Динамика объема инвестиций в основной капитал в жилищное строительство Украины в 2000-2005 pp., В фактических ценах, млн грн

Рис. 10.7. Динамика объема инвестиций в основной капитал в жилищное строительство Украины в 2000-2005 pp., В фактических ценах, млн грн

В современных условиях развития информационно-компьютерных систем появилась возможность строить графики с помощью пакетов компьютерных программ, в том числе электронных таблиц EXCEL, "Statistica-6" и др. Они удобны в использовании и значительно упрощают эту работу.

Рис. 10.8. Структура источников финансирования лизинговых операций в Украине на начало 2005 p.,%